Để chứng minh rằng trong 2016 số nguyên dương \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2016}\) thỏa mãn điều kiện:

\[
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_{2016}} = 300
\]

có ít nhất hai số bằng nhau, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý hộp chim bồ câu).

Trước hết, ta giả sử rằng tất cả các số \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2016}\) đều khác nhau. Khi đó, các số này là các số nguyên dương phân biệt.

Giả sử \(a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_{2016}\). Vì các số \(a_i\) là các số nguyên dương, nên \(a_1 \geq 1\), \(a_2 \geq 2\), \(a_3 \geq 3\), và cứ như vậy, \(a_{2016} \geq 2016\).

Xét tổng:

\[
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_{2016}}
\]

Do \(a_i \geq i\) với mọi \(i\) từ 1 đến 2016, ta có:

\[
\frac{1}{a_1} \leq 1, \quad \frac{1}{a_2} \leq \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{a_3} \leq \frac{1}{3}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{a_{2016}} \leq \frac{1}{2016}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_{2016}} \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2016}
\]

Tổng các nghịch đảo của các số nguyên từ 1 đến 2016 là một tổng hàm điều hòa, và ta biết rằng:

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2016} \approx \ln(2016) + \gamma
\]

trong đó \(\gamma\) là hằng số Euler-Mascheroni, và \(\ln(2016) \approx 7.6\). Do đó:

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2016} \approx 7.6 + \gamma \approx 8.2
\]

Như vậy, tổng này nhỏ hơn rất nhiều so với 300. Điều này mâu thuẫn với điều kiện đã cho:

\[
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_{2016}} = 300
\]

Do đó, giả thiết rằng tất cả các số \(a_i\) đều khác nhau là sai. Vậy phải có ít nhất hai số trong 2016 số \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2016}\) bằng nhau.

Điều này chứng minh rằng trong 2016 số đã cho, có ít nhất hai số bằng nhau.