Để rút gọn biểu thức \(\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{x^2-4x} + \frac{x+1}{x}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích các mẫu số thành nhân tử:**

- \(x^2 - 4x = x(x - 4)\)

2. **Viết lại biểu thức với các mẫu số đã được phân tích:**

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{x(x-4)} + \frac{x+1}{x}
\]

3. **Tìm mẫu số chung:**

Mẫu số chung của các phân số là \(x(x-1)(x-4)\).

4. **Quy đồng các phân số:**

- \(\frac{x-3}{x-1}\) quy đồng thành \(\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)}\)
- \(\frac{x-4}{x(x-4)}\) quy đồng thành \(\frac{(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x-4)}\)
- \(\frac{x+1}{x}\) quy đồng thành \(\frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}\)

5. **Viết lại biểu thức với mẫu số chung:**

\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x-4)} + \frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

6. **Gộp các tử số lại:**

\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

7. **Rút gọn tử số:**

\[
(x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)
\]

- \( (x-4)(x-1) = x^2 - 5x + 4 \)
- \( (x+1)(x-1)(x-4) = (x^2 - 1)(x-4) = x^3 - 4x^2 - x + 4 \)

Gộp lại:

\[
x^2 - 5x + 4 + x^3 - 4x^2 - x + 4 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8
\]

8. **Viết lại biểu thức cuối cùng:**

\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{x^3 - 3x^2 - 6x + 8}{x(x-1)(x-4)}
\]

Do đó, biểu thức đã được rút gọn là:

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x^3 - 3x^2 - 6x + 8}{x(x-1)(x-4)}
\]

Tuy nhiên, nếu bạn muốn kiểm tra lại hoặc đơn giản hóa thêm, bạn có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể của \(x\) để đảm bảo tính đúng đắn của biểu thức.