Để tính nhanh các biểu thức \( M \) và \( N \), ta có thể sử dụng các công thức và tính chất của các dãy số.

a) Tính \( M \):

\[ M = (100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - (101 \cdot 99 + 99 \cdot 97 + \ldots + 5 \cdot 3 + 3 \cdot 1) \]

Nhận thấy rằng:

\[ 101 \cdot 99 = 100^2 - 1 \]
\[ 99 \cdot 97 = 98^2 - 1 \]
\[ \ldots \]
\[ 5 \cdot 3 = 4^2 - 1 \]
\[ 3 \cdot 1 = 2^2 - 1 \]

Do đó, ta có:

\[ 101 \cdot 99 + 99 \cdot 97 + \ldots + 5 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = (100^2 - 1) + (98^2 - 1) + \ldots + (4^2 - 1) + (2^2 - 1) \]

Tổng này có thể viết lại thành:

\[ (100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - (1 + 1 + \ldots + 1) \]

Số lượng các số hạng là 50, do đó:

\[ 1 + 1 + \ldots + 1 = 50 \]

Vậy:

\[ M = (100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - ((100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - 50) = 50 \]

b) Tính \( N \):

\[ N = (100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - (99^2 + 97^2 + \ldots + 3^2 + 1^2) \]

Nhận thấy rằng:

\[ 100^2 - 99^2 = (100 + 99)(100 - 99) = 199 \]
\[ 98^2 - 97^2 = (98 + 97)(98 - 97) = 195 \]
\[ \ldots \]
\[ 4^2 - 3^2 = (4 + 3)(4 - 3) = 7 \]
\[ 2^2 - 1^2 = (2 + 1)(2 - 1) = 3 \]

Do đó:

\[ N = 199 + 195 + \ldots + 7 + 3 \]

Đây là một dãy số cộng với công sai là 4, số hạng đầu tiên là 3 và số hạng cuối cùng là 199. Số lượng số hạng trong dãy này là:

\[ n = \frac{199 - 3}{4} + 1 = 50 \]

Tổng của dãy số này là:

\[ N = \frac{50}{2} \cdot (3 + 199) = 25 \cdot 202 = 5050 \]

Vậy:

\[ M = 50 \]
\[ N = 5050 \]