Chứng minh các bài toán sau:

### Bài 1:
#### a) Chứng minh:
\[
(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)
\]

**Chứng minh:**

Ta có:
\[
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2
\]
\[
(b+c)^3 = b^3 + c^3 + 3b^2c + 3bc^2
\]
\[
(c+a)^3 = c^3 + a^3 + 3c^2a + 3ca^2
\]

Cộng các biểu thức trên lại:
\[
(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + a^3 + b^3 + c^3 + a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3ca^2
\]
\[
= 3(a^3 + b^3 + c^3) + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2)
\]

Tiếp theo, ta có:
\[
3(a+b)(b+c)(c+a) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]
\[
= 3(a(b+c) + b(b+c))(c+a)
\]
\[
= 3(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)
\]
\[
= 3(abc + a^2c + ab^2 + abc + b^2c + b^2a + b^2c + bc^2 + abc + a^2b + ab^2 + abc)
\]
\[
= 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc)
\]

Vậy:
\[
(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]
\[
= 3(a^3 + b^3 + c^3) + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) - 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc)
\]
\[
= 3(a^3 + b^3 + c^3) - 9abc
\]
\[
= 2(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)
\]

#### b) Chứng minh:
\[
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]

**Chứng minh:**

Ta có:
\[
(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 6abc
\]

Vậy:
\[
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3
\]
\[
= 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 6abc
\]

Mặt khác:
\[
3(a+b)(b+c)(c+a) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]
\[
= 3(a(b+c) + b(b+c))(c+a)
\]
\[
= 3(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)
\]
\[
= 3(abc + a^2c + ab^2 + abc + b^2c + b^2a + b^2c + bc^2 + abc + a^2b + ab^2 + abc)
\]
\[
= 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc)
\]

Vậy:
\[
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc)
\]
\[
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]

#### c) Cho \(a+b+c=2p\). Chứng minh:
\[
p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2
\]

**Chứng minh:**

Ta có:
\[
a + b + c = 2p \Rightarrow p = \frac{a+b+c}{2}
\]

Vậy:
\[
p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2
\]
\[
= p^2 + \left(\frac{a+b+c}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{a+b+c}{2} - b\right)^2 + \left(\frac{a+b+c}{2} - c\right)^2
\]
\[
= p^2 + \left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a+c-b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2
\]

Khai triển các bình phương:
\[
= p^2 + \frac{(b+c-a)^2}{4} + \frac{(a+c-b)^2}{4} + \frac{(a+b-c)^2}{4}
\]

Cộng các biểu thức lại:
\[
= p^2 + \frac{b^2 + c^2 + a^2 - 2bc - 2ab + 2ac}{4} + \frac{a^2 + c^2 + b^2 - 2ac - 2ab + 2bc}{4} + \frac{a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac}{4}
\]

Cộng các hệ số:
\[
= p^2 + \frac{3(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)}{4}
\]

Vì \(p = \frac{a+b+c}{2}\), ta có:
\[
p^2 = \left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2 = \frac{(a+b+c)^2}{4}
\]

Vậy:
\[
p^2 + \frac{3(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)}{4} = \frac{(a+b+c)^2}{4} + \frac{3(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)}{4}
\]

Cộng các biểu thức lại:
\[
= \frac{(a+b+c)^2 + 3(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)}{4}
\]

Vì \(a + b + c = 2p\), ta có:
\[
(a+b+c)^2 = 4p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\]

Vậy:
\[
p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2
\]

#### d) Cho \(x+y+z=0\), \(xy+yz+zx=0\). Chứng minh: \(x=y=z\)

**Chứng minh:**

Ta có:
\[
x + y + z = 0 \Rightarrow z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[
-x^2 - y^2 - xy = 0
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
z = -x - y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
xy + y(-x - y) + x(-x - y) = 0
\]
\[
xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0
\]
\[