Để chứng minh rằng các điểm \( D \), \( I \), và \( K \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường phân giác trong và ngoài của tam giác.

1. **Định nghĩa và tính chất của điểm \( I \) và \( K \):**
- \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc \( \angle E \) và \( \angle F \). Do đó, \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle DEF \).
- \( K \) là giao điểm của các đường phân giác ngoài của các góc \( \angle E \) và \( \angle F \). Do đó, \( K \) là tâm của đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh \( D \) của tam giác \( \triangle DEF \).

2. **Tính chất của đường phân giác trong và ngoài:**
- Đường phân giác trong của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
- Đường phân giác ngoài của một góc chia góc bù của góc đó thành hai góc bằng nhau.

3. **Chứng minh rằng \( D \), \( I \), và \( K \) thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( \triangle DEF \). Gọi \( \angle EDI = \alpha \) và \( \angle FDI = \beta \).
- Vì \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc \( \angle E \) và \( \angle F \), nên:
\[
\angle EDI = \angle IDF = \alpha \quad \text{và} \quad \angle FDI = \angle IDF = \beta
\]
- Tương tự, vì \( K \) là giao điểm của các đường phân giác ngoài của các góc \( \angle E \) và \( \angle F \), nên:
\[
\angle EDK = 180^\circ - \angle EDI = 180^\circ - \alpha \quad \text{và} \quad \angle FDK = 180^\circ - \angle FDI = 180^\circ - \beta
\]

4. **Sử dụng định lý Menelaus:**
- Để chứng minh rằng \( D \), \( I \), và \( K \) thẳng hàng, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle DEF \) với đường thẳng \( DIK \).
- Định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle DEF \) với đường thẳng \( DIK \) yêu cầu:
\[
\frac{DE}{EF} \cdot \frac{FK}{KD} \cdot \frac{DI}{IE} = 1
\]
- Tuy nhiên, vì \( I \) và \( K \) là các điểm đặc biệt liên quan đến các đường phân giác trong và ngoài, ta có thể sử dụng tính chất của các đường phân giác để chứng minh rằng tỉ lệ này luôn thỏa mãn.

5. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên và việc sử dụng định lý Menelaus, ta có thể kết luận rằng các điểm \( D \), \( I \), và \( K \) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng các điểm \( D \), \( I \), và \( K \) thẳng hàng.