Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh tam giác ABC cân tại A

1. **Giả thiết:**
- Tam giác ABC có đường trung tuyến AD.
- Từ D kẻ DE song song với AB (E thuộc AC).
- AE = ED.
- BE cắt AD tại G.

2. **Chứng minh:**
- Vì DE song song với AB và AE = ED, nên tứ giác ADEB là hình bình hành (do hai cạnh đối song song và bằng nhau).
- Trong hình bình hành ADEB, ta có AD = BE và DE = AB.
- Vì AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên D là trung điểm của BC.
- Do đó, BE cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Vì DE song song với AB và DE = AB, nên tam giác ADE là tam giác cân tại D (vì DE = AB và DE // AB).
- Do đó, tam giác ADE cân tại D suy ra tam giác ABC cân tại A (vì AD là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác và đường cao).

### b. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

1. **Giả thiết:**
- Tam giác ABC có đường trung tuyến AD.
- Từ D kẻ DE song song với AB (E thuộc AC).
- AE = ED.
- BE cắt AD tại G.

2. **Chứng minh:**
- Từ phần a, ta đã chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A và AD là đường trung tuyến.
- Vì AD là đường trung tuyến, nên D là trung điểm của BC.
- BE là đường trung tuyến của tam giác ABC (vì E là trung điểm của AC do AE = ED).
- G là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và BE.
- Trong tam giác, giao điểm của hai đường trung tuyến là trọng tâm của tam giác.
- Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
a. Tam giác ABC cân tại A.
b. G là trọng tâm của tam giác ABC.