Để rút gọn biểu thức \( \frac{x^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy}{y^2} \div \frac{y^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy}{y^2} \div \frac{y^2}{x^2} \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích biểu thức ban đầu:**

\[
\frac{x^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy}{y^2} \div \frac{y^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy}{y^2} \div \frac{y^2}{x^2}
\]

2. **Chuyển phép chia thành phép nhân với nghịch đảo:**

\[
\frac{x^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy}{y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{y^2} + \frac{xy}{y^2} \cdot \frac{x^2}{y^2}
\]

3. **Rút gọn từng phần:**

- Phần đầu tiên: \(\frac{x^2}{x^2 - y^2}\)
- Phần thứ hai: \(\frac{xy}{y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{y^2} = \frac{xy(x^2 - y^2)}{y^4}\)
- Phần thứ ba: \(\frac{xy}{y^2} \cdot \frac{x^2}{y^2} = \frac{xy \cdot x^2}{y^4} = \frac{x^3 y}{y^4} = \frac{x^3}{y^3}\)

4. **Gộp lại các phần đã rút gọn:**

\[
\frac{x^2}{x^2 - y^2} + \frac{xy(x^2 - y^2)}{y^4} + \frac{x^3}{y^3}
\]

5. **Tìm mẫu số chung để cộng các phân số:**

Mẫu số chung là \( (x^2 - y^2)y^4 \).

- Phân số đầu tiên: \(\frac{x^2 y^4}{(x^2 - y^2) y^4}\)
- Phân số thứ hai: \(\frac{xy(x^2 - y^2)}{y^4} \cdot \frac{y^4}{(x^2 - y^2) y^4} = \frac{xy(x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2) y^4}\)
- Phân số thứ ba: \(\frac{x^3 y}{y^3} \cdot \frac{y^4}{(x^2 - y^2) y^4} = \frac{x^3 y^4}{(x^2 - y^2) y^4}\)

6. **Cộng các phân số:**

\[
\frac{x^2 y^4 + xy(x^2 - y^2) + x^3 y^4}{(x^2 - y^2) y^4}
\]

7. **Rút gọn tử số:**

\[
x^2 y^4 + xy(x^2 - y^2) + x^3 y^4 = x^2 y^4 + x^3 y - xy^3 + x^3 y^4
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{x^2 y^4 + x^3 y - xy^3 + x^3 y^4}{(x^2 - y^2) y^4}
\]

Tuy nhiên, biểu thức này có thể không rút gọn thêm được nữa mà không có thêm thông tin hoặc điều kiện về \(x\) và \(y\).