Để biểu thức \( M = \frac{x - 4}{2x + 1} \) là số nguyên, tức là \( M \in \mathbb{Z} \), thì tử số \( x - 4 \) phải chia hết cho mẫu số \( 2x + 1 \).

Gọi \( M = k \) với \( k \in \mathbb{Z} \), ta có:
\[ k = \frac{x - 4}{2x + 1} \]

Suy ra:
\[ x - 4 = k(2x + 1) \]

Giải phương trình này:
\[ x - 4 = 2kx + k \]
\[ x - 2kx = k + 4 \]
\[ x(1 - 2k) = k + 4 \]
\[ x = \frac{k + 4}{1 - 2k} \]

Để \( x \in \mathbb{Z} \), thì \( \frac{k + 4}{1 - 2k} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - 2k \) phải là một ước của \( k + 4 \).

Xét các giá trị của \( k \) sao cho \( 1 - 2k \) là ước của \( k + 4 \):

1. Khi \( k = 0 \):
\[ x = \frac{0 + 4}{1 - 2 \cdot 0} = \frac{4}{1} = 4 \]

2. Khi \( k = 1 \):
\[ x = \frac{1 + 4}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{5}{-1} = -5 \]

3. Khi \( k = -1 \):
\[ x = \frac{-1 + 4}{1 - 2 \cdot (-1)} = \frac{3}{3} = 1 \]

4. Khi \( k = 2 \):
\[ x = \frac{2 + 4}{1 - 2 \cdot 2} = \frac{6}{-3} = -2 \]

5. Khi \( k = -2 \):
\[ x = \frac{-2 + 4}{1 - 2 \cdot (-2)} = \frac{2}{5} \notin \mathbb{Z} \]

6. Khi \( k = 3 \):
\[ x = \frac{3 + 4}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{7}{-5} \notin \mathbb{Z} \]

7. Khi \( k = -3 \):
\[ x = \frac{-3 + 4}{1 - 2 \cdot (-3)} = \frac{1}{7} \notin \mathbb{Z} \]

Như vậy, các giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để \( M \) là số nguyên là:
\[ x = 4, -5, 1, -2 \]