Gọi số cần tìm là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) và \( b \) là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị tương ứng.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện sau:

1. Khi chia số đó cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 9, dư là không:
\[ \overline{ab} = 10a + b \]
\[ \frac{10a + b}{a + b} = 9 \]
\[ 10a + b = 9(a + b) \]
\[ 10a + b = 9a + 9b \]
\[ 10a + b = 9a + 9b \]
\[ 10a - 9a = 9b - b \]
\[ a = 8b \]

2. Khi chia số đó cho số viết theo thứ tự ngược lại của nó thì được thương là 4, dư là 9:
\[ \frac{10a + b}{10b + a} = 4 \text{ dư } 9 \]
\[ 10a + b = 4(10b + a) + 9 \]
\[ 10a + b = 40b + 4a + 9 \]
\[ 10a - 4a = 40b - b + 9 \]
\[ 6a = 39b + 9 \]
\[ 6a = 39b + 9 \]
\[ 2a = 13b + 3 \]

Từ điều kiện \( a = 8b \), thay vào phương trình \( 2a = 13b + 3 \):
\[ 2(8b) = 13b + 3 \]
\[ 16b = 13b + 3 \]
\[ 3b = 3 \]
\[ b = 1 \]

Thay \( b = 1 \) vào \( a = 8b \):
\[ a = 8 \times 1 = 8 \]

Vậy số cần tìm là \( \overline{ab} = 81 \).

Kiểm tra lại:
- Tổng hai chữ số của 81 là \( 8 + 1 = 9 \). Chia 81 cho 9 được 9, dư 0.
- Số viết ngược lại của 81 là 18. Chia 81 cho 18 được 4, dư 9.

Vậy số cần tìm là 81.