Để giải bất phương trình \((x^2 - 4)(x^2 - 16) < 0\), ta làm theo các bước sau:

1. **Phân tích các biểu thức trong dấu ngoặc:**
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
\[
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
\]

2. **Xác định các điểm quan trọng:**
Các điểm làm cho các biểu thức bằng 0 là \(x = -4, -2, 2, 4\).

3. **Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:**
Ta xét dấu của biểu thức \((x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)\) trên các khoảng được chia bởi các điểm \(-4, -2, 2, 4\).

- Khoảng \((-\infty, -4)\):
\[
x < -4 \Rightarrow (x - 2) < 0, (x + 2) < 0, (x - 4) < 0, (x + 4) < 0
\]
Tích của 4 số âm là số dương.

- Khoảng \((-4, -2)\):
\[
-4 < x < -2 \Rightarrow (x - 2) < 0, (x + 2) < 0, (x - 4) < 0, (x + 4) > 0
\]
Tích của 3 số âm và 1 số dương là số âm.

- Khoảng \((-2, 2)\):
\[
-2 < x < 2 \Rightarrow (x - 2) < 0, (x + 2) > 0, (x - 4) < 0, (x + 4) > 0
\]
Tích của 2 số âm và 2 số dương là số dương.

- Khoảng \((2, 4)\):
\[
2 < x < 4 \Rightarrow (x - 2) > 0, (x + 2) > 0, (x - 4) < 0, (x + 4) > 0
\]
Tích của 1 số âm và 3 số dương là số âm.

- Khoảng \((4, \infty)\):
\[
x > 4 \Rightarrow (x - 2) > 0, (x + 2) > 0, (x - 4) > 0, (x + 4) > 0
\]
Tích của 4 số dương là số dương.

4. **Kết luận:**
Biểu thức \((x^2 - 4)(x^2 - 16) < 0\) chỉ xảy ra trên các khoảng \((-4, -2)\) và \((2, 4)\).

5. **Tìm các giá trị nguyên của \(x\) trong các khoảng này:**
- Trong khoảng \((-4, -2)\): \(x = -3\)
- Trong khoảng \((2, 4)\): \(x = 3\)

Vậy các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình là \(x = -3\) và \(x = 3\).