Để giải hệ phương trình và tìm các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm dương, ta làm như sau:

Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x - y = 1 \\
mx + 3y = 5
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất để tìm \( y \) theo \( x \):
\[
y = 2x - 1
\]

Bước 2: Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
mx + 3(2x - 1) = 5
\]
\[
mx + 6x - 3 = 5
\]
\[
(m + 6)x = 8
\]
\[
x = \frac{8}{m + 6}
\]

Bước 3: Thay \( x \) vào phương trình \( y = 2x - 1 \):
\[
y = 2 \left(\frac{8}{m + 6}\right) - 1
\]
\[
y = \frac{16}{m + 6} - 1
\]
\[
y = \frac{16 - (m + 6)}{m + 6}
\]
\[
y = \frac{10 - m}{m + 6}
\]

Bước 4: Để hệ phương trình có nghiệm dương, \( x \) và \( y \) phải dương:
\[
x = \frac{8}{m + 6} > 0 \implies m + 6 > 0 \implies m > -6
\]
\[
y = \frac{10 - m}{m + 6} > 0 \implies 10 - m > 0 \implies m < 10
\]

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[
-6 < m < 10
\]

Vậy các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm dương là \( -6 < m < 10 \).