Cho \( m \) và \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) và \( m - n \) chia hết cho 7. Ta cần chứng minh \( 4m + 3n \) chia hết cho 7.

Vì \( m - n \) chia hết cho 7, nên tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ m - n = 7k \]

Từ đó, ta có:
\[ m = n + 7k \]

Bây giờ, ta xét biểu thức \( 4m + 3n \):
\[ 4m + 3n = 4(n + 7k) + 3n \]
\[ = 4n + 28k + 3n \]
\[ = 7n + 28k \]

Ta thấy rằng \( 7n + 28k \) có thể được viết lại như sau:
\[ 7n + 28k = 7(n + 4k) \]

Vì \( n + 4k \) là một số nguyên, nên \( 7(n + 4k) \) chia hết cho 7.

Do đó, \( 4m + 3n \) chia hết cho 7.

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \( m - n \) chia hết cho 7 thì \( 4m + 3n \) cũng chia hết cho 7.