Để chứng minh rằng tất cả các số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) đều là số dương, ta sẽ sử dụng các giả thiết đã cho: tổng của các số này là dương và tích của bất kỳ 4 số nào trong chúng đều là số dương.

Giả sử ngược lại rằng tồn tại ít nhất một số \(a_i\) nào đó không dương. Vì các số \(a_i\) là hữu tỉ, nên \(a_i\) có thể là số âm hoặc bằng 0.

**Bước 1: Loại trừ khả năng có số bằng 0**

Giả sử tồn tại \(a_i = 0\). Khi đó, tích của bất kỳ 4 số nào chứa \(a_i\) sẽ bằng 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng tích của bất kỳ 4 số nào đều là số dương. Do đó, không có số nào trong \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) bằng 0.

**Bước 2: Xem xét khả năng có số âm**

Giả sử tồn tại ít nhất một số âm trong các số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\). Để tích của bất kỳ 4 số nào cũng là số dương, số lượng các số âm phải là một số chẵn. Giả sử có \(k\) số âm, với \(k\) là số chẵn và \(k \geq 2\).

**Bước 3: Tổng của các số**

Tổng của tất cả các số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) là dương. Gọi \(S\) là tổng của các số dương và \(T\) là tổng của các số âm. Ta có:
\[ S + T > 0 \]
Vì \(T\) là tổng của các số âm, nên \(T \leq 0\). Do đó, \(S > -T\).

**Bước 4: Mâu thuẫn từ tổng các số**

Nếu có ít nhất một số âm, thì tổng \(T\) sẽ là một số âm. Giả sử có \(k\) số âm, thì \(T\) là tổng của \(k\) số âm. Vì \(k\) là số chẵn, ta có thể nhóm các số âm thành các cặp, mỗi cặp có tích dương. Tuy nhiên, tổng của các số âm vẫn là âm, điều này mâu thuẫn với việc tổng của tất cả các số là dương.

Do đó, giả thiết rằng tồn tại ít nhất một số âm dẫn đến mâu thuẫn. Vậy tất cả các số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) đều phải là số dương.

**Kết luận:**

Tất cả các số \(a_1, a_2, \ldots, a_{100}\) đều là số dương.