Tìm số hữu tỉ x

Để tìm số hữu tỉ \( x > 0 \) sao cho \( x + \frac{12}{x} \) có giá trị nguyên, ta có thể làm như sau:

Giả sử \( x + \frac{12}{x} = k \), trong đó \( k \) là một số nguyên.

Nhân cả hai vế với \( x \), ta được:
\[ x^2 + 12 = kx \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta có:
\[ x^2 - kx + 12 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai. Để \( x \) là số hữu tỉ, phương trình này phải có nghiệm hữu tỉ. Theo định lý Viet, nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là hữu tỉ nếu và chỉ nếu \( b^2 - 4ac \) là một số chính phương.

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -k \), và \( c = 12 \). Do đó, ta cần kiểm tra xem \( k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = k^2 - 48 \) có phải là một số chính phương hay không.

Đặt \( k^2 - 48 = m^2 \), trong đó \( m \) là một số nguyên. Ta có:
\[ k^2 - m^2 = 48 \]
\[ (k - m)(k + m) = 48 \]

Bây giờ ta cần tìm các cặp số nguyên \((k - m)\) và \((k + m)\) sao cho tích của chúng bằng 48. Các cặp số này có thể là:
- \( (1, 48) \)
- \( (2, 24) \)
- \( (3, 16) \)
- \( (4, 12) \)
- \( (6, 8) \)
- \( (-1, -48) \)
- \( (-2, -24) \)
- \( (-3, -16) \)
- \( (-4, -12) \)
- \( (-6, -8) \)

Xét từng cặp:

1. \( k - m = 1 \) và \( k + m = 48 \):
\[ k = \frac{1 + 48}{2} = 24.5 \] (không nguyên)

2. \( k - m = 2 \) và \( k + m = 24 \):
\[ k = \frac{2 + 24}{2} = 13 \]
\[ m = \frac{24 - 2}{2} = 11 \]

3. \( k - m = 3 \) và \( k + m = 16 \):
\[ k = \frac{3 + 16}{2} = 9.5 \] (không nguyên)

4. \( k - m = 4 \) và \( k + m = 12 \):
\[ k = \frac{4 + 12}{2} = 8 \]
\[ m = \frac{12 - 4}{2} = 4 \]

5. \( k - m = 6 \) và \( k + m = 8 \):
\[ k = \frac{6 + 8}{2} = 7 \]
\[ m = \frac{8 - 6}{2} = 1 \]

Các cặp khác sẽ cho \( k \) không nguyên hoặc \( k \) âm.

Vậy, các giá trị \( k \) có thể là \( 13 \), \( 8 \), và \( 7 \).

Bây giờ, ta giải phương trình bậc hai với các giá trị \( k \):

1. Với \( k = 13 \):
\[ x^2 - 13x + 12 = 0 \]
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{13 \pm 11}{2} \]
\[ x = 12 \text{ hoặc } x = 1 \]

2. Với \( k = 8 \):
\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \]
\[ x = 6 \text{ hoặc } x = 2 \]

3. Với \( k = 7 \):
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = 3 \]

Vậy các số hữu tỉ \( x > 0 \) thỏa mãn là: \( 12, 1, 6, 2, 4, 3 \).