Để giải hệ phương trình sau:

\[ \begin{cases}
\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 2} + \frac{1}{y + 3} = 7 \\
\frac{3}{x - 1} + \frac{4}{y + 3} = 1
\end{cases} \]

Chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Đặt ẩn phụ:**
Đặt \( u = \frac{1}{x - 1} \) và \( v = \frac{1}{y + 3} \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[ \begin{cases}
u + \frac{1}{y - 2} + v = 7 \\
3u + 4v = 1
\end{cases} \]

2. **Giải phương trình thứ hai để tìm \( u \):**
Từ phương trình thứ hai:

\[ 3u + 4v = 1 \]

Ta có thể giải \( u \) theo \( v \):

\[ u = \frac{1 - 4v}{3} \]

3. **Thay \( u \) vào phương trình thứ nhất:**
Thay \( u = \frac{1 - 4v}{3} \) vào phương trình thứ nhất:

\[ \frac{1 - 4v}{3} + \frac{1}{y - 2} + v = 7 \]

Nhân cả hai vế với 3 để loại mẫu:

\[ 1 - 4v + \frac{3}{y - 2} + 3v = 21 \]

Đơn giản hóa:

\[ 1 - v + \frac{3}{y - 2} = 21 \]

\[ \frac{3}{y - 2} = 20 + v \]

\[ \frac{3}{y - 2} = 20 + v \]

\[ y - 2 = \frac{3}{20 + v} \]

\[ y = 2 + \frac{3}{20 + v} \]

4. **Thay \( y \) vào phương trình \( v \):**
Từ phương trình \( v = \frac{1}{y + 3} \):

\[ v = \frac{1}{2 + \frac{3}{20 + v} + 3} \]

\[ v = \frac{1}{5 + \frac{3}{20 + v}} \]

Nhân cả tử và mẫu với \( 20 + v \):

\[ v(20 + v) = 1 \]

\[ v^2 + 20v - 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2} \]

\[ v = \frac{-20 \pm \sqrt{404}}{2} \]

\[ v = \frac{-20 \pm 2\sqrt{101}}{2} \]

\[ v = -10 \pm \sqrt{101} \]

Chọn giá trị dương cho \( v \):

\[ v = -10 + \sqrt{101} \]

5. **Tìm \( u \):**
Từ \( u = \frac{1 - 4v}{3} \):

\[ u = \frac{1 - 4(-10 + \sqrt{101})}{3} \]

\[ u = \frac{1 + 40 - 4\sqrt{101}}{3} \]

\[ u = \frac{41 - 4\sqrt{101}}{3} \]

6. **Tìm \( x \) và \( y \):**
Từ \( u = \frac{1}{x - 1} \):

\[ x - 1 = \frac{3}{41 - 4\sqrt{101}} \]

\[ x = 1 + \frac{3}{41 - 4\sqrt{101}} \]

Từ \( v = \frac{1}{y + 3} \):

\[ y + 3 = \frac{1}{-10 + \sqrt{101}} \]

\[ y = \frac{1}{-10 + \sqrt{101}} - 3 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[ x = 1 + \frac{3}{41 - 4\sqrt{101}} \]
\[ y = \frac{1}{-10 + \sqrt{101}} - 3 \]