Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn P

Đầu tiên, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức \( P \):

\[ P = \left( \frac{x^2 - 2}{x^2 - 2x} + \frac{x + 1}{x + 2} \right) : \frac{x + 1}{x} \]

Bước 1: Rút gọn từng phân số trong dấu ngoặc:

\[ \frac{x^2 - 2}{x^2 - 2x} = \frac{x^2 - 2}{x(x - 2)} \]

Bước 2: Thực hiện phép chia:

\[ \left( \frac{x^2 - 2}{x(x - 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} \right) : \frac{x + 1}{x} = \left( \frac{x^2 - 2}{x(x - 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} \right) \times \frac{x}{x + 1} \]

Bước 3: Tìm mẫu số chung và cộng các phân số trong dấu ngoặc:

\[ \frac{x^2 - 2}{x(x - 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x^2 - 2)(x + 2) + (x + 1)x(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} \]

\[ = \frac{x^3 + 2x^2 - 2x - 4 + x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x}{x(x - 2)(x + 2)} \]

\[ = \frac{2x^3 - x^2 - 4}{x(x - 2)(x + 2)} \]

Bước 4: Nhân với phân số bên ngoài:

\[ P = \left( \frac{2x^3 - x^2 - 4}{x(x - 2)(x + 2)} \right) \times \frac{x}{x + 1} \]

\[ = \frac{2x^3 - x^2 - 4}{(x - 2)(x + 2)(x + 1)} \]

### b. Tìm x để \( P = \frac{1}{2} \)

\[ \frac{2x^3 - x^2 - 4}{(x - 2)(x + 2)(x + 1)} = \frac{1}{2} \]

Giải phương trình này để tìm x:

\[ 2(2x^3 - x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)(x + 1) \]

\[ 4x^3 - 2x^2 - 8 = x^3 + x^2 - 4x - 4 \]

\[ 4x^3 - 2x^2 - 8 = x^3 + x^2 - 4x - 4 \]

\[ 3x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Giải phương trình bậc ba này để tìm x.

### c. Tìm x nguyên để P nguyên

Để \( P \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số:

\[ \frac{2x^3 - x^2 - 4}{(x - 2)(x + 2)(x + 1)} \]

Tìm các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức trên là số nguyên. Điều này có thể yêu cầu thử nghiệm các giá trị nguyên của x và kiểm tra tính nguyên của \( P \).

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán.