Dưới đây là lời giải cho các bài toán trong hình:

**Bài 3.8 (Dạng 4). Tìm các số nguyên x, y biết:**

a) \((x - 1,2)^2 = 4\)

Giải:
\((x - 1.2)^2 = 4\)
\(\Rightarrow x - 1.2 = \pm 2\)
\(\Rightarrow x = 3.2\) hoặc \(x = -0.8\)

Vì x là số nguyên nên không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.

b) \((x + 1)^3 = -125\)

Giải:
\((x + 1)^3 = -125\)
\(\Rightarrow x + 1 = -5\)
\(\Rightarrow x = -6\)

c) \(3^x = 27\)

Giải:
\(3^x = 27\)
\(27 = 3^3\)
\(\Rightarrow x = 3\)

d) \((x + 1,5)^8 + (2,7 - y)^{10} = 0\)

Giải:
\((x + 1.5)^8 + (2.7 - y)^{10} = 0\)

Vì \(a^8 \geq 0\) và \(b^{10} \geq 0\) với mọi số thực a, b, nên:
\((x + 1.5)^8 = 0\) và \((2.7 - y)^{10} = 0\)
\(\Rightarrow x + 1.5 = 0\) và \(2.7 - y = 0\)
\(\Rightarrow x = -1.5\) và \(y = 2.7\)

**Bài 3.9 (Dạng 4). Tìm x, y, biết:**

a) \(\frac{(5x + 1)^2}{36} = \frac{1}{49}\)

Giải:
\(\frac{(5x + 1)^2}{36} = \frac{1}{49}\)
\(\Rightarrow (5x + 1)^2 = \frac{36}{49}\)
\(\Rightarrow 5x + 1 = \pm \frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 5x = -1 \pm \frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 5x = -1 + \frac{6}{7}\) hoặc \(5x = -1 - \frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 5x = -\frac{1}{7}\) hoặc \(5x = -\frac{13}{7}\)
\(\Rightarrow x = -\frac{1}{35}\) hoặc \(x = -\frac{13}{35}\)

Vì x là số nguyên nên không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.

b) \(\left(\frac{x - 2}{9}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3\)

Giải:
\(\left(\frac{x - 2}{9}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow \frac{x - 2}{9} = \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow x - 2 = 6\)
\(\Rightarrow x = 8\)

c) \((8x - 1)^{2x + 1} = 5^{2x + 1}\)

Giải:
\((8x - 1)^{2x + 1} = 5^{2x + 1}\)
Vì \(a^{2x + 1} = b^{2x + 1}\) chỉ khi \(a = b\) hoặc \(a = -b\) và \(2x + 1\) là số lẻ.
\(\Rightarrow 8x - 1 = 5\)
\(\Rightarrow 8x = 6\)
\(\Rightarrow x = \frac{3}{4}\)

Vì x là số nguyên nên không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.

d) \((x - 3,5)^2 + \left(\frac{y - 1}{10}\right)^4 < 0\)

Giải:
\((x - 3.5)^2 \geq 0\) và \(\left(\frac{y - 1}{10}\right)^4 \geq 0\) với mọi số thực x, y.
Do đó, không có giá trị x, y nào thỏa mãn điều kiện này.

**Bài 3.10 (Dạng 5). Tìm số nguyên dương n, biết:**

a) \(25 < 5^n < 625\)

Giải:
\(25 < 5^n < 625\)
\(\Rightarrow 5^2 < 5^n < 5^4\)
\(\Rightarrow 2 < n < 4\)
\(\Rightarrow n = 3\)

b) \(3.27 > 3^n \geq 9\)

Giải:
\(3.27 > 3^n \geq 9\)
\(\Rightarrow 81 > 3^n \geq 9\)
\(\Rightarrow 3^4 > 3^n \geq 3^2\)
\(\Rightarrow 4 > n \geq 2\)
\(\Rightarrow n = 2\) hoặc \(n = 3\)

c) \(16 \leq 8^n < 64\)

Giải:
\(16 \leq 8^n < 64\)
\(\Rightarrow 2^4 \leq 8^n < 2^6\)
\(\Rightarrow 4 \leq 3n < 6\)
\(\Rightarrow \frac{4}{3} \leq n < 2\)
\(\Rightarrow n = 2\)

**Bài 3.11 (Dạng 5). So sánh:**

a) \(-2^{30}\) và \(-3^{20}\)

Giải:
\(-2^{30}\) là số âm rất lớn, \(-3^{20}\) cũng là số âm rất lớn nhưng nhỏ hơn \(-2^{30}\).
\(\Rightarrow -2^{30} > -3^{20}\)

b) \((-5)^9\) và \((-2)^{18}\)

Giải:
\((-5)^9\) là số âm, \((-2)^{18}\) là số dương.
\(\Rightarrow (-5)^9 < (-2)^{18}\)

c) \(35^5\) và \(6^{10}\)

Giải:
\(35^5\) là số rất lớn, \(6^{10}\) cũng là số rất lớn nhưng nhỏ hơn \(35^5\).
\(\Rightarrow 35^5 > 6^{10}\)

**Bài 3.12.**

a) Cho biết \(1 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2 = 385\). Tính \(A = 3^2 + 6^2 + 9^2 + ... + 30^2\).

Giải:
\(A = 3^2 + 6^2 + 9^2 + ... + 30^2\)
\(A = 3^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2)\)
\(A = 9(1 + 4 + 9 + ... + 100)\)
\(A = 9 \times 385 = 3465\)

b) Cho biết \(1 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3 = 3025\). Tính \(B = 2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + 20^3\).

Giải:
\(B = 2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + 20^3\)
\(B = 2^3(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3)\)
\(B = 8(1 + 8 + 27 + ... + 1000)\)
\(B = 8 \times 3025 = 24200\)

**Bài 3.13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:**

a) \(A = 3^{n+3} + 3^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1}\) chia hết cho 6.

Giải:
\(A = 3^{n+3} + 3^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1}\)
\(A = 3^{n+1}(3^2 + 1) + 2^{n+1}(2 + 1)\)
\(A = 3^{n+1}(9 + 1) + 2^{n+1}(2 + 1)\)
\(A = 3^{n+1} \times 10 + 2^{n+1} \times 3\)
\(A = 3(3^{n+1} \times 10/3 + 2^{n+1})\)

Vì \(3^{n+1} \times 10/3\) là số nguyên và \(2^{n+1}\) là số nguyên, nên \(A\) chia hết cho 3.

\(A = 2(3^{n+1} \times 5 + 2^{n+1})\)

Vì \(3^{n+1} \times 5\) là số nguyên và \(2^{n+1}\) là số nguyên, nên \(A\) chia hết cho 2.

Do đó, \(A\) chia hết cho 6.

b) \(B = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}\) chia hết cho 10.

Giải:
\(B = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}\)
\(B = 3^{n+1}(3^2 + 1) - 2^{n+1}(2^2 + 1)\)
\(B = 3^{n+1}(9 + 1) - 2^{n+1}(4 + 1)\)
\(B = 3^{n+1} \times 10 - 2^{n+1} \times 5\)
\(B = 5(3^{n+1} \times 2 - 2^{n+1})\)

Vì \(3^{n+1} \times 2\) là số nguyên và \(2^{n+1}\) là số nguyên, nên \(B\) chia hết cho 5.

\(B = 2(3^{n+1} \times 5 - 2^{n+1})\)

Vì \(3^{n+1} \times 5\) là số nguyên và \(2^{n+1}\) là số nguyên, nên \(B\) chia hết cho 2.

Do đó, \(B\) chia hết cho 10.