Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và trung tuyến trong tam giác vuông.

1. **Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC:**

Gọi \( AB = a \), \( AC = b \), và \( BC = c \). Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Chu vi của tam giác ABC là 72 cm, do đó:
\[
a + b + c = 72
\]

Trung tuyến AM từ A đến trung điểm M của cạnh BC có độ dài 15 cm. Trong tam giác vuông, trung tuyến từ đỉnh góc vuông đến trung điểm của cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:
\[
AM = \frac{c}{2} = 15 \implies c = 30
\]

Thay \( c = 30 \) vào phương trình chu vi:
\[
a + b + 30 = 72 \implies a + b = 42
\]

2. **Tìm độ dài của \( a \) và \( b \):**

Từ phương trình \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \):
\[
30 = \sqrt{a^2 + b^2} \implies a^2 + b^2 = 900
\]

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 42 \\
a^2 + b^2 = 900
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
b = 42 - a
\]

Thay vào phương trình \( a^2 + b^2 = 900 \):
\[
a^2 + (42 - a)^2 = 900 \implies a^2 + 1764 - 84a + a^2 = 900 \implies 2a^2 - 84a + 864 = 0
\]

Chia cả hai vế cho 2:
\[
a^2 - 42a + 432 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = 42^2 - 4 \cdot 432 = 1764 - 1728 = 36
\]
\[
a = \frac{42 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{42 \pm 6}{2}
\]

\[
a = 24 \quad \text{hoặc} \quad a = 18
\]

Tương ứng, \( b \) sẽ là:
\[
b = 42 - a \implies b = 18 \quad \text{hoặc} \quad b = 24
\]

Vì \( AB < AC \), nên \( a = 18 \) và \( b = 24 \).

3. **Tính tỉ số lượng giác của các góc B và C:**

- Góc B:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}
\]
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}
\]
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}
\]

- Góc C:
\[
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}
\]
\[
\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}
\]
\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}
\]

Vậy, tỉ số lượng giác của các góc B và C là:
- Góc B: \(\sin B = \frac{4}{5}\), \(\cos B = \frac{3}{5}\), \(\tan B = \frac{4}{3}\)
- Góc C: \(\sin C = \frac{3}{5}\), \(\cos C = \frac{4}{5}\), \(\tan C = \frac{3}{4}\)