Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c, và d.

**a) Chứng minh DE // BC:**

- Vì D là giao điểm của đường phân giác góc AMB với AB, nên ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MB}
\]
- Tương tự, vì E là giao điểm của đường phân giác góc AMC với AC, nên ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AM}{MC}
\]
- Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên:
\[
MB = MC
\]
- Do đó:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
- Theo định lý đường phân giác trong tam giác, nếu \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\) thì DE // BC.

**b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh DI = IE:**

- Vì DE // BC và AM là trung tuyến của tam giác ABC nên AM cũng là trung tuyến của tam giác ADE.
- Do đó, I là trung điểm của DE, tức là:
\[
DI = IE
\]

**c) Tính DE biết BC = 30 cm, AM = 10 cm:**

- Vì DE // BC và AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ lệ 1:2.
- Do đó, độ dài DE bằng một nửa độ dài BC:
\[
DE = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}
\]

**d) Chứng minh tam giác ABC cân nếu biết MD = ME:**

- Vì MD = ME và AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên tam giác AMD và tam giác AME là hai tam giác cân tại M.
- Do đó, góc AMD = góc AME.
- Vì D và E nằm trên AB và AC tương ứng, nên góc ABD = góc ACE.
- Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE là hai tam giác cân tại A.
- Vì vậy, tam giác ABC cân tại A.

Như vậy, chúng ta đã giải quyết xong tất cả các phần của bài toán.