Để tính nhanh biểu thức \(-\frac{17}{14} : \left(-\frac{34}{7}\right) + \frac{10}{3} \left(\frac{1}{5} - \frac{3}{4}\right) - \frac{6}{5} \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{6}\right)\), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận.

1. **Tính \(-\frac{17}{14} : \left(-\frac{34}{7}\right)\)**:
\[
-\frac{17}{14} : \left(-\frac{34}{7}\right) = -\frac{17}{14} \times \left(-\frac{7}{34}\right)
\]
\[
= \frac{17}{14} \times \frac{7}{34} = \frac{17 \times 7}{14 \times 34} = \frac{119}{476}
\]
\[
= \frac{119 \div 17}{476 \div 17} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}
\]

2. **Tính \(\frac{10}{3} \left(\frac{1}{5} - \frac{3}{4}\right)\)**:
\[
\frac{1}{5} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 15}{20} = \frac{-11}{20}
\]
\[
\frac{10}{3} \times \frac{-11}{20} = \frac{10 \times -11}{3 \times 20} = \frac{-110}{60} = -\frac{11}{6}
\]

3. **Tính \(\frac{6}{5} \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{6}\right)\)**:
\[
\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2 - 5}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\frac{6}{5} \times -\frac{1}{2} = \frac{6 \times -1}{5 \times 2} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}
\]

4. **Tổng hợp lại các kết quả**:
\[
\frac{1}{4} + \left(-\frac{11}{6}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4} - \frac{11}{6} + \frac{3}{5}
\]

5. **Quy đồng mẫu số**:
Mẫu số chung của 4, 6 và 5 là 60.
\[
\frac{1}{4} = \frac{15}{60}, \quad \frac{11}{6} = \frac{110}{60}, \quad \frac{3}{5} = \frac{36}{60}
\]
\[
\frac{15}{60} - \frac{110}{60} + \frac{36}{60} = \frac{15 - 110 + 36}{60} = \frac{-59}{60}
\]

Vậy kết quả của biểu thức là:
\[
-\frac{59}{60}
\]