Để tìm số hữu tỉ \( x > 0 \) sao cho \( 2x - \frac{1}{x} \) là một số hữu tỉ, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt \( y = 2x - \frac{1}{x} \), trong đó \( y \) là một số hữu tỉ.
2. Nhân cả hai vế của phương trình với \( x \) để loại bỏ mẫu số:
\[
yx = 2x^2 - 1
\]
3. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
\[
2x^2 - yx - 1 = 0
\]
4. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 2 \), \( b = -y \), và \( c = -1 \):
\[
x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 8}}{4}
\]

Để \( x \) là số hữu tỉ, biểu thức dưới căn \( \sqrt{y^2 + 8} \) phải là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là \( y^2 + 8 \) phải là một số chính phương.

Giả sử \( y^2 + 8 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên, ta có:
\[
k^2 - y^2 = 8
\]
Điều này có thể được viết lại dưới dạng hiệu hai bình phương:
\[
(k - y)(k + y) = 8
\]

Xét các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình trên:
- \( k - y = 1 \) và \( k + y = 8 \):
\[
k - y = 1 \\
k + y = 8
\]
Cộng hai phương trình lại:
\[
2k = 9 \implies k = \frac{9}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

- \( k - y = 2 \) và \( k + y = 4 \):
\[
k - y = 2 \\
k + y = 4
\]
Cộng hai phương trình lại:
\[
2k = 6 \implies k = 3 \\
k + y = 4 \implies 3 + y = 4 \implies y = 1
\]

- \( k - y = 4 \) và \( k + y = 2 \):
\[
k - y = 4 \\
k + y = 2
\]
Cộng hai phương trình lại:
\[
2k = 6 \implies k = 3 \\
k + y = 2 \implies 3 + y = 2 \implies y = -1
\]

- \( k - y = 8 \) và \( k + y = 1 \):
\[
k - y = 8 \\
k + y = 1
\]
Cộng hai phương trình lại:
\[
2k = 9 \implies k = \frac{9}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Vậy chỉ có \( y = 1 \) hoặc \( y = -1 \) là thỏa mãn.

Với \( y = 1 \):
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
\]
\[
x = 1 \quad (\text{vì } x > 0)
\]

Với \( y = -1 \):
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{(-1)^2 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]
\[
x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad (\text{vì } x > 0)
\]

Vậy các số hữu tỉ \( x > 0 \) thỏa mãn điều kiện là \( x = 1 \) và \( x = \frac{1}{2} \).