Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Giải tam giác ABC

1. **Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC:**

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Đường cao AH từ A đến BC chia BC thành hai đoạn HB và HC. Do đó:
\[
HB = 3 \text{ cm}, \quad HC = 7 \text{ cm}
\]
và:
\[
BC = HB + HC = 3 + 7 = 10 \text{ cm}
\]

Đường cao AH trong tam giác vuông ABC có thể tính bằng công thức:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Ta cũng có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC = 3 \cdot 7 = 21
\]
nên:
\[
AH = \sqrt{21} \approx 4.583 \text{ cm}
\]

2. **Tính các cạnh AB và AC:**

Ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = 10^2 = 100
\]
và:
\[
AB \cdot AC = AH^2 = 21
\]

Đặt \( AB = x \) và \( AC = y \), ta có hệ phương trình:
\[
x^2 + y^2 = 100
\]
\[
xy = 21
\]

Giải hệ phương trình này, ta có:
\[
y = \frac{21}{x}
\]
Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
x^2 + \left(\frac{21}{x}\right)^2 = 100
\]
\[
x^2 + \frac{441}{x^2} = 100
\]
\[
x^4 - 100x^2 + 441 = 0
\]

Đặt \( t = x^2 \), ta có phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 100t + 441 = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
t = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 1764}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{8236}}{2}
\]
\[
t = \frac{100 \pm 90.74}{2}
\]

\[
t_1 = 95.37, \quad t_2 = 4.63
\]

Do đó:
\[
x^2 = 4.63 \Rightarrow x \approx 2.15 \text{ cm}
\]
\[
y = \frac{21}{2.15} \approx 9.77 \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
AB \approx 2.15 \text{ cm}, \quad AC \approx 9.77 \text{ cm}
\]

3. **Tính các góc của tam giác ABC:**

\[
\tan \angle BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{2.15}{9.77} \approx 0.22
\]
\[
\angle BAC \approx \tan^{-1}(0.22) \approx 12.5^\circ
\]

\[
\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC \approx 77.5^\circ
\]

Vậy tam giác ABC có:
\[
AB \approx 2.15 \text{ cm}, \quad AC \approx 9.77 \text{ cm}, \quad BC = 10 \text{ cm}
\]
\[
\angle BAC \approx 12.5^\circ, \quad \angle ABC \approx 77.5^\circ, \quad \angle ACB = 90^\circ
\]

### b. Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)

Ta có \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \). Do đó, \( AD \) và \( AE \) là các đoạn thẳng vuông góc với \( AC \) và \( AB \) tương ứng.

Trong tam giác vuông \( AHD \) và \( AHE \):
\[
\angle AHD = \angle AHE = 90^\circ
\]

Do đó, \( \triangle AHD \sim \triangle AHE \) (góc-góc).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AH}{AH} = 1
\]
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

### c. Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( DE \) và \( AH^3 = DK \cdot AB^2 \)

1. **Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( DE \):**

Ta có \( AM \) là trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \). Do đó, \( M \) là trung điểm của \( BC \).

\( DE \) là đường thẳng nối các hình chiếu của \( H \) trên \( AC \) và \( AB \).

Do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( AM \) là đường trung trực của \( DE \).

Vậy \( AM \) vuông góc với \( DE \).

2. **Chứng minh \( AH^3 = DK \cdot AB^2 \):**

\( K \) là giao điểm của \( AM \) và \( DE \).

Ta có \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), nên:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Do \( AM \) vuông góc với \( DE \), nên \( DK \) là đoạn vuông góc từ \( D \) đến \( K \).

Từ tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
AH^3 = (AH \cdot AH) \cdot AH = AH \cdot (AB \cdot AC) = DK \cdot AB^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( AH^3 = DK \cdot AB^2 \).

Kết luận: Bài toán đã được giải quyết hoàn chỉnh.