Để chứng minh \( CB = CD \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( \angle B + \angle D = 180^\circ \) và \( AC \) là tia phân giác của \( \angle A \), ta làm theo các bước sau:

1. **Lấy điểm \( E \) trên tia đối của \( DA \) sao cho \( CA = CE \):**

Vì \( E \) nằm trên tia đối của \( DA \), ta có \( E \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( A \).

2. **Xét tam giác \( \triangle ACE \):**

Vì \( CA = CE \), tam giác \( \triangle ACE \) là tam giác cân tại \( C \). Do đó, \( \angle CAE = \angle CEA \).

3. **Xét góc \( \angle BAC \) và \( \angle EAC \):**

Vì \( AC \) là tia phân giác của \( \angle A \), ta có:
\[
\angle BAC = \angle CAD
\]
và
\[
\angle EAC = \angle CAD
\]

4. **Xét góc \( \angle B \) và \( \angle D \):**

Theo giả thiết, ta có:
\[
\angle B + \angle D = 180^\circ
\]

5. **Xét tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle EDC \):**

- Trong tam giác \( \triangle ABC \), ta có:
\[
\angle BAC = \angle CAD
\]
- Trong tam giác \( \triangle EDC \), ta có:
\[
\angle EAC = \angle CAD
\]

6. **Chứng minh \( \triangle ABC \) và \( \triangle EDC \) đồng dạng:**

- Ta đã có \( \angle BAC = \angle EAC \).
- Ta cũng có \( CA = CE \) (theo cách chọn \( E \)).
- Do đó, \( \triangle ABC \) và \( \triangle EDC \) là hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

7. **Suy ra \( CB = CD \):**

Vì \( \triangle ABC \) và \( \triangle EDC \) đồng dạng và có cạnh tương ứng \( CA = CE \), ta suy ra:
\[
CB = CD
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( CB = CD \).