Cho \(\sin x = \frac{3}{5}\) với \(0 < x < 180^\circ\). Ta sẽ tính các giá trị sau:

a) \(\cot (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x)\)

b) \(\tan (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x)\)

c) \(2 \cot (90^\circ - x) \cdot \tan (180^\circ - x)\)

d) \(2 \tan (90^\circ - x) \cdot \sin (180^\circ - x)\)

Trước tiên, ta cần tìm các giá trị lượng giác liên quan:

1. \(\sin (180^\circ - x) = \sin x = \frac{3}{5}\)
2. \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)
3. \(\sin (90^\circ - x) = \cos x = \frac{4}{5}\)
4. \(\cos (90^\circ - x) = \sin x = \frac{3}{5}\)
5. \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\)
6. \(\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{4}{3}\)
7. \(\tan (180^\circ - x) = -\tan x = -\frac{3}{4}\)
8. \(\cot (180^\circ - x) = -\cot x = -\frac{4}{3}\)
9. \(\tan (90^\circ - x) = \cot x = \frac{4}{3}\)
10. \(\cot (90^\circ - x) = \tan x = \frac{3}{4}\)

Bây giờ ta sẽ tính các giá trị yêu cầu:

a) \(\cot (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x)\)

\[
\cot (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x) = -\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{16}{15}
\]

b) \(\tan (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x)\)

\[
\tan (180^\circ - x) \cdot \sin (90^\circ - x) = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
\]

c) \(2 \cot (90^\circ - x) \cdot \tan (180^\circ - x)\)

\[
2 \cot (90^\circ - x) \cdot \tan (180^\circ - x) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot -\frac{3}{4} = 2 \cdot -\frac{9}{16} = -\frac{9}{8}
\]

d) \(2 \tan (90^\circ - x) \cdot \sin (180^\circ - x)\)

\[
2 \tan (90^\circ - x) \cdot \sin (180^\circ - x) = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}
\]

Vậy các giá trị cần tính là:

a) \(-\frac{16}{15}\)

b) \(-\frac{3}{5}\)

c) \(-\frac{9}{8}\)

d) \(\frac{8}{5}\)