Chúng ta sẽ giải từng bài toán một:

**a. Tính giá trị biểu thức:**
\[ \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{2}{99 \cdot 101} \]

Ta có:
\[ \frac{2}{n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} \]

Sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản:
\[ \frac{2}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \]

Giải hệ phương trình:
\[ 2 = A(n+2) + Bn \]
\[ 2 = An + 2A + Bn \]
\[ 2 = (A+B)n + 2A \]

So sánh hệ số:
\[ A + B = 0 \]
\[ 2A = 2 \Rightarrow A = 1 \Rightarrow B = -1 \]

Vậy:
\[ \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \]

Áp dụng vào biểu thức ban đầu:
\[ \sum_{n=3, n \text{ lẻ}}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \]

Biểu thức này là một chuỗi teleskoping, các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right) \]

Chỉ còn lại:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{101} \]

Vậy giá trị của biểu thức là:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{101} = \frac{101 - 3}{303} = \frac{98}{303} \]

**b. Tính giá trị biểu thức:**
\[ \frac{1}{9 \cdot 10} - \frac{1}{8 \cdot 9} - \frac{1}{7 \cdot 8} - \ldots - \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{1 \cdot 2} \]

Chúng ta sẽ phân tích từng phần tử:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

Áp dụng vào biểu thức ban đầu:
\[ \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) - \ldots - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \]

Biểu thức này cũng là một chuỗi teleskoping, các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\[ \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) - \ldots - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \]

Chỉ còn lại:
\[ - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \]

**c. Giải phương trình:**
\[ \frac{2}{9} : x + \frac{5}{6} = 0.5 \]

Chuyển đổi phương trình:
\[ \frac{2}{9x} + \frac{5}{6} = 0.5 \]

Trừ \(\frac{5}{6}\) từ cả hai vế:
\[ \frac{2}{9x} = 0.5 - \frac{5}{6} \]
\[ \frac{2}{9x} = \frac{3}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Giải phương trình:
\[ \frac{2}{9x} = -\frac{1}{3} \]
\[ 2 = -\frac{9x}{3} \]
\[ 2 = -3x \]
\[ x = -\frac{2}{3} \]

**d. Giải phương trình:**
\[ \frac{3}{4} - \left( x - \frac{2}{3} \right) = 1 \frac{1}{3} \]

Chuyển đổi phương trình:
\[ \frac{3}{4} - x + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Gộp các phân số:
\[ \frac{3}{4} + \frac{2}{3} - x = \frac{4}{3} \]

Tìm mẫu số chung:
\[ \frac{9}{12} + \frac{8}{12} - x = \frac{16}{12} \]
\[ \frac{17}{12} - x = \frac{16}{12} \]

Giải phương trình:
\[ -x = \frac{16}{12} - \frac{17}{12} \]
\[ -x = -\frac{1}{12} \]
\[ x = \frac{1}{12} \]

**e. Giải phương trình:**
\[ \left( -\frac{5}{6} x + \frac{5}{4} \right) : \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \]

Chuyển đổi phương trình:
\[ \left( -\frac{5}{6} x + \frac{5}{4} \right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{2}\):
\[ -\frac{5}{6} x + \frac{5}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \]
\[ -\frac{5}{6} x + \frac{5}{4} = 2 \]

Giải phương trình:
\[ -\frac{5}{6} x = 2 - \frac{5}{4} \]
\[ -\frac{5}{6} x = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} \]
\[ -\frac{5}{6} x = \frac{3}{4} \]

Nhân cả hai vế với \(-\frac{6}{5}\):
\[ x = \frac{3}{4} \cdot -\frac{6}{5} \]
\[ x = -\frac{18}{20} \]
\[ x = -\frac{9}{10} \]

**f. Giải phương trình:**
\[ \frac{4}{3} - \left( x - \frac{1}{5} \right) = \left( -\frac{3}{10} + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{6} \]

Chuyển đổi phương trình:
\[ \frac{4}{3} - x + \frac{1}{5} = \left( -\frac{3}{10} + \frac{5}{10} \right) - \frac{1}{6} \]
\[ \frac{4}{3} - x + \frac{1}{5} = \frac{2}{10} - \frac{1}{6} \]
\[ \frac{4}{3} - x + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \]

Tìm mẫu số chung:
\[ \frac{4}{3} - x + \frac{1}{5} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} \]
\[ \frac{4}{3} - x + \frac{1}{5} = \frac{1}{30} \]

Gộp các phân số:
\[ \frac{4}{3} + \frac{1}{5} - x = \frac{1}{30} \]

Tìm mẫu số chung:
\[ \frac{20}{15} + \frac{3}{15} - x = \frac{1}{30} \]
\[ \frac{23}{15} - x = \frac{1}{30} \]

Giải phương trình:
\[ -x = \frac{1}{30} - \frac{23}{15} \]
\[ -x = \frac{1}{30} - \frac{46}{30} \]
\[ -x = -\frac{45}{30} \]
\[ x = \frac{45}{30} \]
\[ x = \frac{3}{2} \]

Vậy, các giá trị của \( x \) là:
a) \(\frac{98}{303}\)
b) \(-\frac{1}{6}\)
c) \(-\frac{2}{3}\)
d) \(\frac{1}{12}\)
e) \(-\frac{9}{10}\)
f) \(\frac{3}{2}\)