Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi.

### a) Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác EBD

Ta cần chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác EBD bằng nhau.

- Xét tam giác ABD và tam giác EBD:
- Cạnh BD là cạnh chung.
- BE = BA (theo giả thiết).
- Góc ABD = Góc EBD (vì D nằm trên tia phân giác của góc B).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle ABD = \triangle EBD \]

### b) Chứng minh rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông

- Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, tức là AH vuông góc với BC tại H.
- Ta cần chứng minh rằng AD // EH và AH vuông góc với DE.

Xét tam giác ABD và tam giác EBD đã chứng minh bằng nhau ở phần a:
- Ta có AD = DE (vì D nằm trên tia phân giác của góc B và tam giác ABD = tam giác EBD).

Do đó, tứ giác ADEH có:
- AD // EH (vì AD = DE và AH vuông góc với BC).

Vậy tứ giác ADEH là hình thang vuông.

### c) Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông

- Gọi I là giao điểm của AH với BD.
- Đường thẳng EI cắt AB tại F.

Ta cần chứng minh rằng ACEF là hình thang vuông, tức là AC // EF và một góc vuông.

Xét tam giác ABD và tam giác EBD đã chứng minh bằng nhau ở phần a:
- Ta có AD = DE và AH vuông góc với BC tại H.

Xét tứ giác ADEH đã chứng minh là hình thang vuông ở phần b:
- Ta có AD // EH và AH vuông góc với DE.

Do đó, EI cũng vuông góc với DE tại I (vì I nằm trên AH).

Xét tứ giác ACEF:
- Ta có AC // EF (vì EI vuông góc với DE và DE // AC).

Vậy tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.