Để rút gọn các biểu thức sau, chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi đại số và hợp lý hóa mẫu số (nếu cần). Dưới đây là các bước rút gọn cho từng biểu thức:

a) \(\frac{2 + \sqrt{12}}{1 + \sqrt{12}}\)

- Đầu tiên, ta nhận thấy \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), do đó biểu thức trở thành:
\[
\frac{2 + 2\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}
\]
- Để hợp lý hóa mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số:
\[
\frac{(2 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}{(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}
\]
- Tính toán tử số và mẫu số:
\[
\frac{2 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 12}{1 - 12} = \frac{2 - 2\sqrt{3} - 12}{-11} = \frac{-10 - 2\sqrt{3}}{-11} = \frac{10 + 2\sqrt{3}}{11}
\]

b) \(\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}\)

- Để hợp lý hóa mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số:
\[
\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
\]
- Tính toán tử số và mẫu số:
\[
\frac{\sqrt{15} + \sqrt{45} - \sqrt{5} - \sqrt{15}}{1 - 3} = \frac{\sqrt{45} - \sqrt{5}}{-2} = \frac{3\sqrt{5} - \sqrt{5}}{-2} = \frac{2\sqrt{5}}{-2} = -\sqrt{5}
\]

c) \(\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2}\)

- Đầu tiên, ta nhận thấy \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), do đó biểu thức trở thành:
\[
\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{2\sqrt{2} - 2}
\]
- Để hợp lý hóa mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số:
\[
\frac{(2\sqrt{3} - \sqrt{6})(2\sqrt{2} + 2)}{(2\sqrt{2} - 2)(2\sqrt{2} + 2)}
\]
- Tính toán tử số và mẫu số:
\[
\frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} - 2\sqrt{6}}{8 - 4} = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

d) \(\frac{a - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}\)

- Để hợp lý hóa mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số:
\[
\frac{(a - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}
\]
- Tính toán tử số và mẫu số:
\[
\frac{a + a\sqrt{a} - \sqrt{a} - a}{1 - a} = \frac{a\sqrt{a} - \sqrt{a}}{1 - a} = \frac{\sqrt{a}(a - 1)}{1 - a} = -\sqrt{a}
\]

Vậy các biểu thức đã được rút gọn như sau:
a) \(\frac{10 + 2\sqrt{3}}{11}\)
b) \(-\sqrt{5}\)
c) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
d) \(-\sqrt{a}\)