Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( C = 4x^2 + 2xy - y^2 - 4x + 15 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thiện bình phương.

Tuy nhiên, vì đây là bài toán lớp 7, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thiện bình phương để dễ hiểu hơn.

Ta có:
\[ C = 4x^2 + 2xy - y^2 - 4x + 15 \]

Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[ C = 4x^2 + 2xy - y^2 - 4x + 15 \]

Ta sẽ hoàn thiện bình phương cho các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[ 4x^2 + 2xy - 4x = 4(x^2 + \frac{1}{2}xy - x) = 4((x - \frac{1}{4}y)^2 - \frac{1}{16}y^2) \]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[ C = 4((x - \frac{1}{4}y)^2 - \frac{1}{16}y^2) - y^2 + 15 \]
\[ C = 4(x - \frac{1}{4}y)^2 - \frac{1}{4}y^2 - y^2 + 15 \]
\[ C = 4(x - \frac{1}{4}y)^2 - \frac{5}{4}y^2 + 15 \]

Để \( C \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( 4(x - \frac{1}{4}y)^2 \) nhỏ nhất và \(- \frac{5}{4}y^2\) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( x - \frac{1}{4}y = 0 \) và \( y = 0 \).

Khi đó, \( x = 0 \) và \( y = 0 \):

\[ C = 4(0 - \frac{1}{4} \cdot 0)^2 - \frac{5}{4} \cdot 0^2 + 15 \]
\[ C = 15 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( C \) là \( 15 \).