Để chứng minh MN song song với Oz, ta cần sử dụng tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng song song.

Giả sử \( O \) là gốc tọa độ, \( Ox \) và \( Oy \) là các tia trên trục tọa độ, và \( Oz \) là tia phân giác của góc \( xOy \).

1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( A \) có tọa độ \( (a, 0) \)
- \( B \) có tọa độ \( (b, 0) \)
- \( C \) có tọa độ \( (0, c) \)
- \( D \) có tọa độ \( (0, d) \)

2. **Điều kiện \( A \) thuộc đoạn \( OB \) và \( C \) thuộc đoạn \( OD \):**
- \( a < b \)
- \( c < d \)

3. **Điều kiện \( AB = CD \):**
- \( |b - a| = |d - c| \)

4. **Tọa độ trung điểm:**
- Trung điểm \( M \) của \( AC \) có tọa độ \( \left( \frac{a}{2}, \frac{c}{2} \right) \)
- Trung điểm \( N \) của \( BD \) có tọa độ \( \left( \frac{b}{2}, \frac{d}{2} \right) \)

5. **Tính vector \( MN \):**
- Vector \( MN \) có tọa độ \( \left( \frac{b - a}{2}, \frac{d - c}{2} \right) \)

6. **Điều kiện \( AB = CD \):**
- \( |b - a| = |d - c| \) nên \( b - a = d - c \) hoặc \( b - a = -(d - c) \)

7. **Xét trường hợp \( b - a = d - c \):**
- Vector \( MN \) có tọa độ \( \left( \frac{d - c}{2}, \frac{d - c}{2} \right) \)
- Vector này có dạng \( \left( k, k \right) \) với \( k = \frac{d - c}{2} \)

8. **Vector \( Oz \):**
- Vector \( Oz \) có tọa độ \( (1, 1) \) vì \( Oz \) là tia phân giác của góc \( xOy \)

9. **Kiểm tra song song:**
- Hai vector \( \left( k, k \right) \) và \( (1, 1) \) là song song vì chúng có cùng tỉ số giữa các thành phần tương ứng.

Vậy, \( MN \) song song với \( Oz \).