Để tìm giá trị lớn nhất của tổng khoảng cách từ hai điểm \(A(2,5)\) và \(B(4,3)\) đến đường thẳng \(d\) qua gốc tọa độ \(O\), ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Giả sử đường thẳng \(d\) có phương trình dạng \(ax + by = 0\) (vì nó đi qua gốc tọa độ \(O\)).

Khoảng cách từ điểm \(A(x_1, y_1)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) được tính bằng công thức:
\[ d(A, d) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Vì đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ nên \(c = 0\), do đó công thức trở thành:
\[ d(A, d) = \frac{|ax_1 + by_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Áp dụng cho điểm \(A(2, 5)\):
\[ d(A, d) = \frac{|2a + 5b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Áp dụng cho điểm \(B(4, 3)\):
\[ d(B, d) = \frac{|4a + 3b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Tổng khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến đường thẳng \(d\) là:
\[ d(A, d) + d(B, d) = \frac{|2a + 5b| + |4a + 3b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Để tổng này đạt giá trị lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức tử số \(|2a + 5b| + |4a + 3b|\).

Do \(A\) và \(B\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(d\), nên \(2a + 5b\) và \(4a + 3b\) phải cùng dấu. Giả sử cả hai đều dương (trường hợp cả hai âm sẽ tương tự).

Khi đó:
\[ |2a + 5b| + |4a + 3b| = (2a + 5b) + (4a + 3b) = 6a + 8b \]

Do đó, tổng khoảng cách trở thành:
\[ d(A, d) + d(B, d) = \frac{6a + 8b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[ (6a + 8b)^2 \leq (a^2 + b^2)(6^2 + 8^2) \]
\[ (6a + 8b)^2 \leq (a^2 + b^2)(36 + 64) \]
\[ (6a + 8b)^2 \leq 100(a^2 + b^2) \]
\[ 6a + 8b \leq 10\sqrt{a^2 + b^2} \]

Do đó:
\[ \frac{6a + 8b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq 10 \]

Vậy, giá trị lớn nhất của \(d(A, d) + d(B, d)\) là \(10\).