Để giải tam giác ABC vuông tại A với AC = 6 cm và AB = 8 cm, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính đường cao AH:**
Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính BH:**
Sử dụng công thức:
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}
\]
\[
BH = \sqrt{8^2 - 4.8^2} = \sqrt{64 - 23.04} = \sqrt{40.96} \approx 6.4 \text{ cm}
\]

4. **Tính MH:**
M là trung điểm của AC, nên AM = MC = 3 cm.
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMH:
\[
MH = \sqrt{AM^2 + AH^2}
\]
\[
MH = \sqrt{3^2 + 4.8^2} = \sqrt{9 + 23.04} = \sqrt{32.04} \approx 5.66 \text{ cm}
\]

5. **Tính diện tích tam giác AMB:**
Diện tích tam giác AMB có thể tính bằng:
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \times AM \times BH
\]
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6.4 = \frac{1}{2} \times 19.2 = 9.6 \text{ cm}^2
\]

Vậy, các kết quả là:
- BC = 10 cm
- AH = 4.8 cm
- BH = 6.4 cm
- Diện tích tam giác AMB = 9.6 cm²