Để chứng minh các biểu thức chia hết cho các số đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất của số học và lý thuyết số.

1. **Chứng minh rằng \( C = 81^7 - 27^9 - 9^13 \) chia hết cho 45:**

Ta có \( 45 = 5 \times 9 \). Do đó, ta cần chứng minh \( C \) chia hết cho cả 5 và 9.

- **Chứng minh \( C \) chia hết cho 5:**

Ta xét các số dư của các cơ số khi chia cho 5:
\[
81 \equiv 1 \pmod{5}, \quad 27 \equiv 2 \pmod{5}, \quad 9 \equiv 4 \pmod{5}
\]
Do đó:
\[
81^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \pmod{5}, \quad 27^9 \equiv 2^9 \equiv 512 \equiv 2 \pmod{5}, \quad 9^{13} \equiv 4^{13} \equiv 4 \pmod{5}
\]
Vậy:
\[
C \equiv 1 - 2 - 4 \equiv -5 \equiv 0 \pmod{5}
\]

- **Chứng minh \( C \) chia hết cho 9:**

Ta xét các số dư của các cơ số khi chia cho 9:
\[
81 \equiv 0 \pmod{9}, \quad 27 \equiv 0 \pmod{9}, \quad 9 \equiv 0 \pmod{9}
\]
Do đó:
\[
81^7 \equiv 0 \pmod{9}, \quad 27^9 \equiv 0 \pmod{9}, \quad 9^{13} \equiv 0 \pmod{9}
\]
Vậy:
\[
C \equiv 0 - 0 - 0 \equiv 0 \pmod{9}
\]

Vì \( C \) chia hết cho cả 5 và 9, nên \( C \) chia hết cho 45.

2. **Chứng minh rằng \( B = 10^6 - 5^7 \) chia hết cho 59:**

Ta xét các số dư của các cơ số khi chia cho 59:
\[
10^6 \equiv 1000000 \pmod{59}
\]
Ta tính \( 1000000 \mod 59 \):
\[
1000000 \div 59 \approx 16949.1525 \quad \Rightarrow \quad 1000000 = 59 \times 16949 + 1 \quad \Rightarrow \quad 1000000 \equiv 1 \pmod{59}
\]
Do đó:
\[
10^6 \equiv 1 \pmod{59}
\]

Tiếp theo, ta xét \( 5^7 \mod 59 \):
\[
5^7 = 78125
\]
Ta tính \( 78125 \mod 59 \):
\[
78125 \div 59 \approx 1324.5763 \quad \Rightarrow \quad 78125 = 59 \times 1324 + 49 \quad \Rightarrow \quad 78125 \equiv 49 \pmod{59}
\]
Do đó:
\[
5^7 \equiv 49 \pmod{59}
\]

Vậy:
\[
B \equiv 1 - 49 \equiv -48 \equiv 11 \pmod{59}
\]

Như vậy, \( B \) không chia hết cho 59. Có thể có sai sót trong tính toán hoặc đề bài có lỗi.

3. **Chứng minh rằng \( E = 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \) chia hết cho 10:**

Ta xét các số dư của các cơ số khi chia cho 10:
\[
3^n \mod 10 \quad \text{và} \quad 2^n \mod 10
\]

Ta biết rằng:
\[
3^4 \equiv 1 \pmod{10}, \quad 2^4 \equiv 6 \pmod{10}
\]

Do đó, chu kỳ của \( 3^n \) và \( 2^n \) khi chia cho 10 là 4. Ta xét các trường hợp của \( n \mod 4 \):

- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{4} \):
\[
3^n \equiv 1, \quad 3^{n+2} \equiv 9, \quad 2^n \equiv 6, \quad 2^{n+2} \equiv 4
\]
\[
E \equiv 9 - 4 + 1 - 6 \equiv 0 \pmod{10}
\]

- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{4} \):
\[
3^n \equiv 3, \quad 3^{n+2} \equiv 7, \quad 2^n \equiv 2, \quad 2^{n+2} \equiv 8
\]
\[
E \equiv 7 - 8 + 3 - 2 \equiv 0 \pmod{10}
\]

- Nếu \( n \equiv 2 \pmod{4} \):
\[
3^n \equiv 9, \quad 3^{n+2} \equiv 1, \quad 2^n \equiv 4, \quad 2^{n+2} \equiv 6
\]
\[
E \equiv 1 - 6 + 9 - 4 \equiv 0 \pmod{10}
\]

- Nếu \( n \equiv 3 \pmod{4} \):
\[
3^n \equiv 7, \quad 3^{n+2} \equiv 3, \quad 2^n \equiv 8, \quad 2^{n+2} \equiv 2
\]
\[
E \equiv 3 - 2 + 7 - 8 \equiv 0 \pmod{10}
\]

Vậy \( E \) luôn chia hết cho 10.

4. **Chứng minh rằng \( S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1997} + 3^{1998} \) chia hết cho 26:**

Ta có tổng của một cấp số nhân:
\[
S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1997} + 3^{1998} = \frac{3(3^{1998} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{1999} - 3}{2}
\]

Ta cần chứng minh \( \frac{3^{1999} - 3}{2} \) chia hết cho 26. Ta xét \( 3^{1999} \mod 26 \):

Ta biết rằng \( 3^{12} \equiv 1 \pmod{26} \) (theo định lý Euler vì \( \phi(26) = 12 \)).

Do đó:
\[
3^{1999} = 3^{12 \times 166 + 7} = (3^{12})^{166} \times 3^7 \equiv 1^{166} \times 3^7 \equiv 3^7 \pmod{26}
\]

Ta tính \( 3^7 \mod 26 \):
\[
3^7 = 2187 \quad \Rightarrow \quad 2187 \div 26 \approx 84.115 \quad \Rightarrow \quad 2187 = 26 \times 84 + 3 \quad \Rightarrow \quad 2187 \equiv 3 \pmod{26}
\]

Vậy:
\[
3^{1999} \equiv 3 \pmod{26}
\]

Do đó:
\[
\frac{3^{1999} - 3}{2} = \frac{3 - 3}{2} = 0
\]

Vậy \( S \) chia hết cho 26.