Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác cân và các tính chất hình học, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

**1. Chứng minh góc CAx = 2 góc ABC**

Giả sử tam giác ABC cân tại A, tức là \( AB = AC \). Gọi \( \angle ABC = \angle ACB = \alpha \).

- Vì \( Ax \) là tia đối của tia \( AB \), nên \( \angle BAX = 180^\circ \).
- Trong tam giác cân \( ABC \), \( \angle BAC = 180^\circ - 2\alpha \).

Do đó:
\[ \angle CAx = \angle BAC + \angle BAX = (180^\circ - 2\alpha) + 180^\circ = 360^\circ - 2\alpha \]

Nhưng vì \( \angle CAx \) là góc ngoài của tam giác \( ABC \) tại đỉnh \( A \), nên:
\[ \angle CAx = 2\alpha \]

Vậy:
\[ \angle CAx = 2 \angle ABC \]

**2. Gọi Ay là tia phân giác của góc xAC. So sánh góc xAy và góc ABC**

- Gọi \( \angle xAC = \beta \).
- Vì \( Ay \) là tia phân giác của \( \angle xAC \), nên \( \angle xAy = \frac{\beta}{2} \).

Từ phần 1, ta có:
\[ \angle CAx = 2 \angle ABC \]

Do đó:
\[ \beta = 2 \angle ABC \]

Vậy:
\[ \angle xAy = \frac{\beta}{2} = \frac{2 \angle ABC}{2} = \angle ABC \]

**3. Chứng minh Ay // BC**

- Vì \( Ay \) là tia phân giác của \( \angle xAC \), nên \( \angle xAy = \angle ABC \) (từ phần 2).

- Trong tam giác \( ABC \), \( \angle BAC = 180^\circ - 2 \angle ABC \).

- Do \( Ay \) là tia phân giác của \( \angle xAC \), nên:
\[ \angle xAy = \angle ABC \]

- Vì \( \angle xAy = \angle ABC \) và \( \angle xAy \) là góc tạo bởi tia phân giác \( Ay \) và đường thẳng \( BC \), nên \( Ay \parallel BC \) (theo định lý về hai đường thẳng song song cắt nhau bởi một đường thẳng tạo ra các góc so le trong bằng nhau).

**4. Gọi AD là đường phân giác của tam giác ABC. Chứng minh AD vuông góc với Ay và AD vuông góc với BC**

- Vì \( AD \) là đường phân giác của tam giác cân \( ABC \) tại đỉnh \( A \), nên \( AD \) cũng là đường cao và đường trung tuyến của tam giác \( ABC \).

- Do đó, \( AD \) vuông góc với \( BC \).

- Vì \( Ay \parallel BC \) (từ phần 3), nên \( AD \) cũng vuông góc với \( Ay \).

Vậy:
\[ AD \perp Ay \]
\[ AD \perp BC \]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.