Để chứng minh \(\cos^3 \angle B = \frac{CE}{CB}\) trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với đường cao \(AH\), và các đường vuông góc \(HE\) và \(HF\) lần lượt từ \(H\) đến \(AB\) và \(AC\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Định nghĩa các đoạn thẳng và góc:**
- \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\).
- \(\angle B = \angle BAC\).

2. **Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có \(\cos \angle B = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}\).

3. **Tính các đoạn thẳng liên quan:**
- Đường cao \(AH\) từ \(A\) đến \(BC\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\).
- Ta có \(AH = \frac{bc}{a}\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông).

4. **Xét tam giác vuông \(AHE\):**
- \(HE \perp AB\) tại \(E\), nên \(HE\) là chiều cao từ \(H\) đến \(AB\).
- Do \(HE \perp AB\), ta có \(HE = AH \cdot \sin \angle B = \frac{bc}{a} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b^2c}{a^2}\).

5. **Xét tam giác vuông \(AHF\):**
- \(HF \perp AC\) tại \(F\), nên \(HF\) là chiều cao từ \(H\) đến \(AC\).
- Do \(HF \perp AC\), ta có \(HF = AH \cdot \cos \angle B = \frac{bc}{a} \cdot \frac{c}{a} = \frac{bc^2}{a^2}\).

6. **Tính đoạn \(CE\):**
- \(CE = CB - BE\).
- \(BE = AB - AE\).
- \(AE = \frac{AH \cdot \cos \angle B}{\cos \angle B} = AH = \frac{bc}{a}\).
- \(BE = c - \frac{bc}{a} = \frac{ac - bc}{a} = \frac{c(a - b)}{a}\).
- \(CE = a - \frac{c(a - b)}{a} = \frac{a^2 - c(a - b)}{a} = \frac{a^2 - ac + bc}{a} = \frac{a^2 - ac + bc}{a}\).

7. **Chứng minh \(\cos^3 \angle B = \frac{CE}{CB}\):**
- \(\cos^3 \angle B = \left(\frac{c}{a}\right)^3 = \frac{c^3}{a^3}\).
- \(\frac{CE}{CB} = \frac{\frac{a^2 - ac + bc}{a}}{a} = \frac{a^2 - ac + bc}{a^2}\).

8. **So sánh hai vế:**
- Ta cần chứng minh \(\frac{c^3}{a^3} = \frac{a^2 - ac + bc}{a^2}\).
- Điều này đúng nếu \(c^3 = a(a^2 - ac + bc)\).

Tuy nhiên, qua các bước trên, ta thấy rằng việc chứng minh này không hoàn toàn đúng với các giả thiết ban đầu. Có thể có một sai sót trong việc tính toán hoặc giả thiết ban đầu. Do đó, cần xem xét lại các bước tính toán hoặc giả thiết để đưa ra chứng minh chính xác hơn.