Để giải phương trình \( \left(1 - \frac{x-1}{x+1}\right)(x+2) = \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đơn giản hóa biểu thức bên trái:
\[ 1 - \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1 - (x-1)}{x+1} = \frac{x+1 - x + 1}{x+1} = \frac{2}{x+1} \]

Do đó, phương trình trở thành:
\[ \frac{2}{x+1}(x+2) = \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} \]

2. Đơn giản hóa biểu thức bên phải:
\[ \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} \]

Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} \]

Ta tính tử số:
\[ (x+1)^2 + (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2 \]

Vậy biểu thức bên phải trở thành:
\[ \frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1} \]

3. Phương trình trở thành:
\[ \frac{2(x+2)}{x+1} = \frac{2(x^2 + 1)}{x^2 - 1} \]

4. Ta nhân chéo để giải phương trình:
\[ 2(x+2)(x^2 - 1) = 2(x+1)(x^2 + 1) \]

5. Ta chia cả hai vế cho 2:
\[ (x+2)(x^2 - 1) = (x+1)(x^2 + 1) \]

6. Ta phân phối các biểu thức:
\[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^3 + x^2 + x + 1 \]

7. Ta đưa tất cả các hạng tử về một vế:
\[ x^3 + 2x^2 - x - 2 - x^3 - x^2 - x - 1 = 0 \]

8. Ta đơn giản hóa:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

9. Ta giải phương trình bậc hai:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -3 \):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại nghiệm \( x = -1 \) vì nó có thể làm mẫu số bằng 0 trong phương trình ban đầu. Thực tế, khi \( x = -1 \), mẫu số của các phân số trong phương trình ban đầu sẽ bằng 0, do đó nghiệm này không hợp lệ.

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ x = 3 \]