Cho tứ giác ABCD có AB = 9, BC = 12, CD = 13, DA= 14 và AC = 15. Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc của B, D trên AC. Tính PQ

Để tính độ dài đoạn PQ, ta cần tìm tọa độ của các điểm P và Q trên đường thẳng AC.

1. Đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D. Giả sử A(0,0), C(15,0).

2. Sử dụng định lý Pythagoras để tính tọa độ của các điểm B và D.

- Tọa độ điểm B:
Giả sử B có tọa độ (x1, y1). Ta có:
\[
AB = 9 \Rightarrow x1^2 + y1^2 = 81
\]
\[
BC = 12 \Rightarrow (x1 - 15)^2 + y1^2 = 144
\]
Giải hệ phương trình này ta tìm được tọa độ của B.

- Tọa độ điểm D:
Giả sử D có tọa độ (x2, y2). Ta có:
\[
DA = 14 \Rightarrow x2^2 + y2^2 = 196
\]
\[
DC = 13 \Rightarrow (x2 - 15)^2 + y2^2 = 169
\]
Giải hệ phương trình này ta tìm được tọa độ của D.

3. Sau khi có tọa độ của B và D, ta tìm tọa độ của các điểm P và Q là hình chiếu vuông góc của B và D lên AC.

- Tọa độ điểm P:
Điểm P là hình chiếu vuông góc của B lên AC, nên P có tọa độ (x1, 0).

- Tọa độ điểm Q:
Điểm Q là hình chiếu vuông góc của D lên AC, nên Q có tọa độ (x2, 0).

4. Độ dài đoạn PQ chính là khoảng cách giữa hai điểm P và Q trên trục hoành:
\[
PQ = |x1 - x2|
\]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC và tam giác ACD, từ đó suy ra độ dài đoạn PQ.

- Diện tích tam giác ABC:
\[
S_{ABC} = \sqrt{s_{ABC}(s_{ABC} - AB)(s_{ABC} - BC)(s_{ABC} - AC)}
\]
với \( s_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18 \)
\[
S_{ABC} = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54
\]

- Diện tích tam giác ACD:
\[
S_{ACD} = \sqrt{s_{ACD}(s_{ACD} - AD)(s_{ACD} - CD)(s_{ACD} - AC)}
\]
với \( s_{ACD} = \frac{AD + CD + AC}{2} = \frac{14 + 13 + 15}{2} = 21 \)
\[
S_{ACD} = \sqrt{21(21 - 14)(21 - 13)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84
\]

- Độ dài đoạn PQ:
\[
PQ = \frac{2 \cdot (S_{ABC} + S_{ACD})}{AC} = \frac{2 \cdot (54 + 84)}{15} = \frac{2 \cdot 138}{15} = \frac{276}{15} = 18.4
\]

Vậy độ dài đoạn PQ là 18.4.