Chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + my = 1 \\
x - y = m
\end{cases}
\]

### a) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm

Để hệ phương trình có nghiệm, chúng ta cần tìm điều kiện để hệ phương trình có thể giải được.

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[ x = y + m \]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[ (y + m) + my = 1 \]

\[ y + m + my = 1 \]

\[ y(1 + m) = 1 - m \]

\[ y = \frac{1 - m}{1 + m} \quad \text{(với điều kiện } 1 + m \neq 0 \text{, tức là } m \neq -1) \]

Khi đó, ta có:

\[ x = y + m = \frac{1 - m}{1 + m} + m \]

\[ x = \frac{1 - m + m(1 + m)}{1 + m} \]

\[ x = \frac{1 - m + m + m^2}{1 + m} \]

\[ x = \frac{1 + m^2}{1 + m} \]

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi \( m \neq -1 \).

### b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \((x, y)\) sao cho \( x + y < 0 \)

Từ phần a, ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình là:

\[ x = \frac{1 + m^2}{1 + m} \]

\[ y = \frac{1 - m}{1 + m} \]

Ta cần điều kiện:

\[ x + y < 0 \]

Thay giá trị của \( x \) và \( y \) vào:

\[ \frac{1 + m^2}{1 + m} + \frac{1 - m}{1 + m} < 0 \]

\[ \frac{(1 + m^2) + (1 - m)}{1 + m} < 0 \]

\[ \frac{2 + m^2 - m}{1 + m} < 0 \]

Xét tử số và mẫu số:

1. \( 1 + m \neq 0 \) tức là \( m \neq -1 \)
2. \( 2 + m^2 - m < 0 \)

Giải bất phương trình \( 2 + m^2 - m < 0 \):

\[ m^2 - m + 2 < 0 \]

Xét phương trình bậc hai \( m^2 - m + 2 = 0 \):

\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \]

Phương trình \( m^2 - m + 2 = 0 \) vô nghiệm vì \(\Delta < 0\), do đó \( m^2 - m + 2 > 0 \) với mọi \( m \).

Vậy không tồn tại giá trị \( m \) nào để \( 2 + m^2 - m < 0 \).

Do đó, không có giá trị \( m \) nào thỏa mãn điều kiện \( x + y < 0 \).