Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x - 2} + 3\sqrt{y - 1} = 10 \\
5\sqrt{x + 2} + \sqrt{y - 3} = 8
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phương trình và tìm giá trị của \( x \) và \( y \).

### Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt:
\[
\sqrt{x - 2} = a \quad \text{và} \quad \sqrt{y - 1} = b
\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
a + 3b = 10 \\
5\sqrt{a^2 + 4} + \sqrt{b^2 + 2} = 8
\end{cases}
\]

### Bước 2: Giải phương trình đầu tiên

Từ phương trình đầu tiên:
\[
a + 3b = 10 \implies a = 10 - 3b
\]

### Bước 3: Thay vào phương trình thứ hai

Thay \( a = 10 - 3b \) vào phương trình thứ hai:
\[
5\sqrt{(10 - 3b)^2 + 4} + \sqrt{b^2 + 2} = 8
\]

### Bước 4: Giải phương trình thứ hai

Phương trình này khá phức tạp, ta sẽ thử các giá trị của \( b \) để tìm nghiệm phù hợp.

#### Thử \( b = 1 \):

Khi \( b = 1 \):
\[
a = 10 - 3 \cdot 1 = 7
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5\sqrt{7^2 + 4} + \sqrt{1^2 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{49 + 4} + \sqrt{1 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{53} + \sqrt{3} \neq 8
\]

#### Thử \( b = 2 \):

Khi \( b = 2 \):
\[
a = 10 - 3 \cdot 2 = 4
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5\sqrt{4^2 + 4} + \sqrt{2^2 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{16 + 4} + \sqrt{4 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{20} + \sqrt{6} \neq 8
\]

#### Thử \( b = 3 \):

Khi \( b = 3 \):
\[
a = 10 - 3 \cdot 3 = 1
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5\sqrt{1^2 + 4} + \sqrt{3^2 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{1 + 4} + \sqrt{9 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{5} + \sqrt{11} \neq 8
\]

#### Thử \( b = 0 \):

Khi \( b = 0 \):
\[
a = 10 - 3 \cdot 0 = 10
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5\sqrt{10^2 + 4} + \sqrt{0^2 + 2} = 8
\]
\[
5\sqrt{100 + 4} + \sqrt{2} \neq 8
\]

### Bước 5: Kết luận

Sau khi thử các giá trị \( b \), ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn cả hai phương trình. Do đó, hệ phương trình này không có nghiệm thực.