Để giải các phần b và c của bài toán, ta thực hiện các bước sau:

**Phần b: Tính độ dài AE và BE**

1. **Tính độ dài AE:**

Ta có tam giác \( \triangle AHE \) vuông tại \( E \), với \( AH = 3 \) cm và \( \angle HAC = 30^\circ \).

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[
\sin 30^\circ = \frac{AE}{AH}
\]
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{AE}{3} = \frac{1}{2}
\]
\[
AE = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài BE:**

Ta có \( AB = 4 \) cm và \( AE = 1.5 \) cm.
\[
BE = AB - AE = 4 - 1.5 = 2.5 \text{ cm}
\]

**Phần c: Tính độ dài FC**

1. **Tính độ dài AF:**

Ta có tam giác \( \triangle AHF \) vuông tại \( F \), với \( AH = 3 \) cm và \( \angle HAC = 30^\circ \).

Sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông:
\[
\cos 30^\circ = \frac{AF}{AH}
\]
\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\frac{AF}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
AF = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài FC:**

Ta có \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \). Tuy nhiên, vì \( \angle HAC = 30^\circ \), ta có thể tính trực tiếp \( FC \) từ \( AF \) và \( AC \).

\[
AC = \frac{AH}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \text{ cm}
\]

\[
FC = AC - AF = 6 - 1.5\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài \( FC \) là \( 6 - 1.5\sqrt{3} \) cm.