Để chứng minh rằng tam giác có độ dài ba cạnh \(a, b, c\) và có một góc bằng \(60^\circ\) là tam giác đều khi \(a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng định lý cosin:**
Giả sử tam giác có góc \(A = 60^\circ\). Theo định lý cosin, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(60^\circ)
\]
Vì \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - bc
\]

2. **Xét biểu thức cần chứng minh:**
Ta cần chứng minh rằng nếu \(a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0\), thì tam giác đó là tam giác đều.

3. **Giả sử tam giác đều:**
Nếu tam giác đều, thì \(a = b = c\). Khi đó, ta có:
\[
a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = a^4(a-a) + a^4(a-a) + a^4(a-a) = 0
\]
Điều này đúng, nhưng ta cần chứng minh ngược lại, tức là nếu \(a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0\), thì \(a = b = c\).

4. **Phân tích biểu thức:**
Xét biểu thức \(a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0\). Ta có:
\[
a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0
\]

Giả sử \(a \neq b\) hoặc \(b \neq c\) hoặc \(c \neq a\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \neq b\). Khi đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho \(a - b\) (vì \(a - b \neq 0\)):

\[
a^4 \frac{(b-c)}{a-b} + b^4 \frac{(c-a)}{a-b} + c^4 \frac{(a-b)}{a-b} = 0
\]

Đơn giản hóa biểu thức, ta có:
\[
a^4 \frac{b-c}{a-b} + b^4 \frac{c-a}{a-b} + c^4 = 0
\]

Nhân cả hai vế với \(a - b\), ta có:
\[
a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0
\]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng \(a \neq b\). Do đó, \(a = b\).

5. **Tương tự, ta chứng minh được \(b = c\) và \(c = a\):**
Từ đó, ta có \(a = b = c\).

6. **Kết luận:**
Vậy, nếu \(a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) = 0\), thì tam giác đó là tam giác đều.