Để giải bài toán này, ta cần giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{2010}{x} + 1 = \frac{2010}{y} \\
x + 2y = 2335
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên.

\[
\frac{2010}{x} + 1 = \frac{2010}{y}
\]

Chuyển vế và quy đồng mẫu số:

\[
\frac{2010}{x} - \frac{2010}{y} = -1
\]

\[
2010 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) = -1
\]

\[
2010 \left(\frac{y - x}{xy}\right) = -1
\]

\[
2010(y - x) = -xy
\]

\[
2010y - 2010x = -xy
\]

\[
xy = 2010x + 2010y
\]

Chia cả hai vế cho \(xy\):

\[
1 = \frac{2010}{y} + \frac{2010}{x}
\]

\[
1 = \frac{2010(x + y)}{xy}
\]

\[
xy = 2010(x + y)
\]

Bước 2: Sử dụng phương trình thứ hai.

\[
x + 2y = 2335
\]

Đặt \(k = \frac{x}{y}\), ta có:

\[
x = ky
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
ky + 2y = 2335
\]

\[
y(k + 2) = 2335
\]

\[
y = \frac{2335}{k + 2}
\]

Thay \(x = ky\) vào phương trình \(xy = 2010(x + y)\):

\[
k \cdot \frac{2335}{k + 2} \cdot \frac{2335}{k + 2} = 2010 \left( \frac{2335k}{k + 2} + \frac{2335}{k + 2} \right)
\]

\[
\frac{2335^2 k}{(k + 2)^2} = 2010 \cdot \frac{2335(k + 1)}{k + 2}
\]

Nhân cả hai vế với \((k + 2)^2\):

\[
2335^2 k = 2010 \cdot 2335 (k + 1)(k + 2)
\]

Chia cả hai vế cho \(2335\):

\[
2335 k = 2010 (k + 1)(k + 2)
\]

\[
2335 k = 2010 (k^2 + 3k + 2)
\]

\[
2335 k = 2010k^2 + 6030k + 4020
\]

\[
0 = 2010k^2 + 6030k + 4020 - 2335k
\]

\[
0 = 2010k^2 + 3695k + 4020
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
k = \frac{-3695 \pm \sqrt{3695^2 - 4 \cdot 2010 \cdot 4020}}{2 \cdot 2010}
\]

\[
k = \frac{-3695 \pm \sqrt{13650225 - 32256000}}{4020}
\]

\[
k = \frac{-3695 \pm \sqrt{-18605775}}{4020}
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì biểu thức dưới căn là số âm. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước giải trước đó. Tuy nhiên, nếu không có lỗi, ta có thể kết luận rằng không có nghiệm thực cho hệ phương trình này.