### Bài 25:

Cho hai dây CD và EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Biết IC = 2cm và ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O (tâm đường tròn) đến mỗi dây.

Giả sử O là tâm của đường tròn, và I là giao điểm của hai dây CD và EF.

1. **Tính bán kính đường tròn:**

Vì IC = 2cm và ID = 14cm, nên CD = IC + ID = 2cm + 14cm = 16cm.

Do CD là dây của đường tròn và OI là đường vuông góc từ tâm O đến dây CD, ta có:
\[
OI = \sqrt{OC^2 - IC^2}
\]
Trong đó, OC là bán kính của đường tròn.

Ta có:
\[
OC = OD = R
\]
\[
IC = 2cm
\]
\[
ID = 14cm
\]
\[
CD = 16cm
\]

Vì I là trung điểm của CD, nên:
\[
CI = ID = \frac{CD}{2} = \frac{16}{2} = 8cm
\]

Do đó, khoảng cách từ O đến dây CD là:
\[
OI = \sqrt{OC^2 - IC^2} = \sqrt{R^2 - 8^2} = \sqrt{R^2 - 64}
\]

2. **Khoảng cách từ O đến dây EF:**

Vì EF bằng CD và vuông góc với CD tại I, nên EF cũng có độ dài bằng 16cm.

Tương tự, khoảng cách từ O đến dây EF cũng là:
\[
OI = \sqrt{R^2 - 8^2} = \sqrt{R^2 - 64}
\]

Vậy khoảng cách từ O đến mỗi dây CD và EF đều là \(\sqrt{R^2 - 64}\).

### Bài 26:

Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, với AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng KM < KN.

1. **Xét tam giác KAB và KCD:**

Vì AB < CD, nên K nằm ngoài đường tròn và KA < KC.

2. **Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N:**

Do đó, M và N là các điểm trên đường tròn (O;OK) và KM < KN.

### Bài 27:

Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

1. **Xét dây AB vuông góc với OI tại I:**

Vì AB vuông góc với OI tại I, nên I là trung điểm của AB.

2. **Dây AB ngắn hơn mọi dây khác đi qua I:**

Giả sử có dây CD khác đi qua I. Nếu CD không vuông góc với OI, thì khoảng cách từ O đến CD sẽ nhỏ hơn khoảng cách từ O đến AB. Do đó, CD sẽ dài hơn AB.

Vì vậy, dây AB vuông góc với OI tại I là dây ngắn nhất đi qua I.

Vậy, dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.