Để chứng minh diện tích của tứ giác lồi \(ABCD\) với các đường chéo \(AC = x\), \(BD = y\) và góc giữa \(AC\) và \(BD\) là \(\alpha\) bằng \(\frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin \alpha\), ta có thể sử dụng công thức diện tích của tứ giác lồi.

1. **Xét tứ giác lồi \(ABCD\) với các đường chéo \(AC\) và \(BD\):**

- Đường chéo \(AC\) có độ dài \(x\).
- Đường chéo \(BD\) có độ dài \(y\).
- Góc giữa hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) là \(\alpha\).

2. **Sử dụng công thức diện tích của tứ giác lồi:**

Diện tích của tứ giác lồi \(ABCD\) có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \alpha
\]

3. **Thay các giá trị đã cho vào công thức:**

- \(AC = x\)
- \(BD = y\)
- Góc giữa \(AC\) và \(BD\) là \(\alpha\)

Do đó, diện tích của tứ giác lồi \(ABCD\) là:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin \alpha
\]

4. **Kết luận:**

Ta đã chứng minh được rằng diện tích của tứ giác lồi \(ABCD\) với các đường chéo \(AC = x\), \(BD = y\) và góc giữa \(AC\) và \(BD\) là \(\alpha\) bằng:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin \alpha
\]

Vậy, công thức diện tích của tứ giác lồi \(ABCD\) đã được chứng minh.