Để chứng minh tứ giác EKFC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh EK // FC:**

- Theo đề bài, \( \triangle ABC \) vuông cân tại A, do đó \( AB = AC \).
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \).
- Qua \( E \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) cắt \( BI \) tại \( K \), do đó \( EK \perp AB \).
- Vì \( BEFD \) là hình bình hành nên \( BE \parallel DF \) và \( BE = DF \).
- Do \( BE = CF \) (theo đề bài), suy ra \( DF = CF \).
- Vì \( DF \parallel BE \) và \( BE \parallel EK \), suy ra \( EK \parallel FC \).

2. **Chứng minh EK = FC:**

- Từ \( BE = CF \) và \( BEFD \) là hình bình hành, ta có \( BE = DF \).
- Do đó, \( DF = CF \).
- Vì \( EK \parallel FC \) và \( EK \) là đoạn thẳng vuông góc với \( AB \), suy ra \( EK = FC \).

3. **Chứng minh KF // EC:**

- Từ \( EK \parallel FC \) và \( EK = FC \), ta có \( KF \parallel EC \).

4. **Chứng minh KF = EC:**

- Từ \( EK = FC \) và \( EK \parallel FC \), ta có \( KF = EC \).

Vậy, tứ giác EKFC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó EKFC là hình bình hành.