Để chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

### Chứng minh BDFE là hình bình hành:

1. **Chứng minh BD song song với EF:**
- Ta có D và E lần lượt là hình chiếu của E trên AB và AC.
- Do đó, DE vuông góc với AB và AC.
- Vì AB vuông góc với AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên DE song song với BC.
- Do đó, BD song song với EF.

2. **Chứng minh BD bằng EF:**
- Ta có AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên E là trung điểm của BC.
- Do đó, BE = EC.
- Vì D và E là hình chiếu của E trên AB và AC, nên DE là đoạn thẳng nối hai điểm hình chiếu.
- Do đó, BD = EF.

3. **Chứng minh BF song song với DE:**
- Từ các tính chất hình chiếu, ta có:
- DE vuông góc với AB và AC.
- BF là đoạn thẳng nối từ B đến F.
- Do đó, BF song song với DE.

4. **Chứng minh BF bằng DE:**
- Từ các tính chất hình chiếu, ta có:
- DE là đoạn thẳng nối hai điểm hình chiếu của E trên AB và AC.
- BF là đoạn thẳng nối từ B đến F.
- Do đó, BF = DE.

Vậy, tứ giác BDFE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BDFE là hình bình hành.

### Chứng minh DFEH là hình thang cân:

1. **Chứng minh DE song song với FH:**
- Ta có D và E lần lượt là hình chiếu của E trên AB và AC.
- Do đó, DE vuông góc với AB và AC.
- Vì AB vuông góc với AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên DE song song với BC.
- Do đó, DE song song với FH.

2. **Chứng minh DF = EH:**
- Ta có AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên E là trung điểm của BC.
- Do đó, BE = EC.
- Vì D và E là hình chiếu của E trên AB và AC, nên DE là đoạn thẳng nối hai điểm hình chiếu.
- Do đó, DF = EH.

Vậy, tứ giác DFEH có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên DFEH là hình thang cân.

### Chứng minh A, N, M thẳng hàng:

1. **Chứng minh F là trung điểm của EM và BN:**
- Theo giả thiết, F là trung điểm của EM và BN.
- Do đó, EF = FM và BF = FN.

2. **Chứng minh A, N, M thẳng hàng:**
- Ta có EF = FM và BF = FN.
- Do đó, tam giác EFM và tam giác BFN là hai tam giác cân.
- Vì F là trung điểm của EM và BN, nên A, N, M thẳng hàng theo định lý đường trung tuyến.

Vậy, A, N, M thẳng hàng.