Để chứng minh \( E, N, C \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đường trung tuyến trong tam giác vuông.

1. **Tính chất của trung tuyến AM trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), trung tuyến \( AM \) từ đỉnh góc vuông \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh huyền \( BC \) có độ dài bằng nửa cạnh huyền \( BC \). Do đó, \( AM = \frac{BC}{2} \).

2. **Xác định điểm D:**
- Trên tia đối của tia \( AM \), lấy điểm \( D \) sao cho \( AM = MD \). Điều này có nghĩa là \( M \) là trung điểm của \( AD \).

3. **Xác định các trung điểm K và E:**
- \( K \) là trung điểm của \( AC \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \).

4. **Xét tam giác \( ABC \):**
- \( BK \) là đường trung tuyến từ \( B \) đến \( K \), trung điểm của \( AC \).

5. **Xét tam giác \( ABD \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AD \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \).

6. **Sử dụng định lý đường trung bình:**
- Trong tam giác \( ABD \), \( EM \) là đường trung bình nối các trung điểm của \( AB \) và \( AD \). Do đó, \( EM \parallel BD \) và \( EM = \frac{1}{2}BD \).

7. **Giao điểm của BK và AD:**
- Gọi \( N \) là giao điểm của \( BK \) và \( AD \).

8. **Chứng minh \( E, N, C \) thẳng hàng:**
- Ta cần chứng minh rằng \( E, N, C \) thẳng hàng, tức là \( N \) nằm trên đường thẳng \( EC \).

9. **Sử dụng tính chất đồng quy của các đường trung tuyến:**
- Trong tam giác \( ABC \), các đường trung tuyến \( AM, BK \) và \( CE \) đồng quy tại trọng tâm \( G \) của tam giác.
- Tuy nhiên, trong tam giác \( ABD \), \( E \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( AD \) tương ứng, và \( EM \parallel BD \).

10. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Do \( EM \parallel BD \) và \( EM \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), nên \( N \) là điểm chia \( AD \) theo tỉ lệ 2:1 từ \( A \) đến \( D \).

11. **Kết luận:**
- Vì \( EM \parallel BD \) và \( EM \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), nên \( N \) nằm trên đường thẳng \( EC \).

Do đó, \( E, N, C \) thẳng hàng.