Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của tam giác vuông và các đường cao.

### Phần a:
Chứng minh: \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

**Chứng minh:**

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):

- \( \angle AHE = 90^\circ \) (do \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \))
- \( \angle AHF = 90^\circ \) (do \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AC \))

Do đó, \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \) đều là các tam giác vuông.

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):

- \( \angle HAE \) chung
- \( \angle HAF \) chung

Do đó, hai tam giác \( AHE \) và \( AHF \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AF} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Do đó:
\[ AE \cdot AC = AF \cdot AB \]

### Phần b:
Gọi \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \). Chứng minh tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ACB \) và \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \).

**Chứng minh:**

Xét tam giác \( AEF \) và tam giác \( ACB \):

- \( \angle AEF = \angle ACB \) (do \( E \) và \( F \) là hình chiếu vuông góc từ \( H \) lên \( AB \) và \( AC \))
- \( \angle AFE = \angle ABC \) (do \( E \) và \( F \) là hình chiếu vuông góc từ \( H \) lên \( AB \) và \( AC \))

Do đó, hai tam giác \( AEF \) và \( ACB \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} \]

Vì \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \), nên từ định lý Ceva trong tam giác \( AEF \) và \( ACB \), ta có:
\[ IE \cdot IF = IB \cdot IC \]

### Phần c:
Biết \( AH = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm, \( HF = 4 \) cm. Tính \( BC \).

**Giải:**

Xét tam giác vuông \( AHE \):

- \( AH = 6 \) cm
- \( AE = 5 \) cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( AHE \):
\[ HE = \sqrt{AH^2 - AE^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \]

Xét tam giác vuông \( AHF \):

- \( AH = 6 \) cm
- \( HF = 4 \) cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( AHF \):
\[ AF = \sqrt{AH^2 + HF^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Từ \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \), ta có:
\[ 5 \cdot AB = 2\sqrt{13} \cdot AC \]

Do đó:
\[ AB = \frac{2\sqrt{13} \cdot AC}{5} \]

Từ đó, ta có thể tính \( BC \) bằng cách sử dụng các giá trị đã biết và các tỉ lệ từ tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, để tính chính xác \( BC \), chúng ta cần thêm thông tin về các cạnh khác hoặc các góc của tam giác \( ABC \).