Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC có đường cao AH. Lấy các điểm D, E lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC, CA sao cho DE ⊥ AC. Lấy một điểm X nằm bên trong tam giác sao cho BA= BX và DE = DX

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b và c theo yêu cầu.

**Phần a: Chứng minh rằng tam giác BHX đồng dạng với tam giác BXC và \(\frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BA}\)**

1. Xét tam giác \(BHX\) và tam giác \(BXC\):
- Ta có \(BA = BX\) (theo giả thiết).
- Góc \(B\) là góc chung của hai tam giác \(BHX\) và \(BXC\).

2. Xét tam giác \(BXC\):
- Ta có \(DE \perp AC\) và \(DE = DX\) (theo giả thiết).
- Do đó, \(DX\) là đường cao từ \(X\) xuống \(AC\), tức là \(XH \perp AC\).

3. Xét tam giác \(BHX\):
- Ta có \(AH \perp BC\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác vuông \(ABC\)).
- Do đó, \(XH \perp AC\).

4. Từ các điều trên, ta có:
- \(\angle BHX = \angle BXC\) (cùng bằng góc \(B\)).
- \(\angle XBH = \angle XBC\) (cùng bằng góc \(B\)).

5. Do đó, tam giác \(BHX\) đồng dạng với tam giác \(BXC\) theo trường hợp góc-góc (AA).

6. Từ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BA}
\]

**Phần b: Chứng minh rằng tam giác DFX đồng dạng với tam giác DXC và tam giác XHF là tam giác cân**

1. Gọi \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên cạnh \(BC\), tức là \(EF \perp BC\).

2. Xét tam giác \(DFX\) và tam giác \(DXC\):
- Ta có \(DE \perp AC\) và \(DE = DX\) (theo giả thiết).
- Do đó, \(DX\) là đường cao từ \(X\) xuống \(AC\), tức là \(XH \perp AC\).

3. Xét tam giác \(DFX\):
- Ta có \(EF \perp BC\) (do \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(BC\)).
- Do đó, \(XH \perp AC\).

4. Từ các điều trên, ta có:
- \(\angle DFX = \angle DXC\) (cùng bằng góc \(D\)).
- \(\angle XDF = \angle XDC\) (cùng bằng góc \(D\)).

5. Do đó, tam giác \(DFX\) đồng dạng với tam giác \(DXC\) theo trường hợp góc-góc (AA).

6. Xét tam giác \(XHF\):
- Ta có \(XH \perp AC\) và \(EF \perp BC\).
- Do đó, \(XH = XF\) (vì \(XH\) và \(XF\) đều là đường cao từ \(X\) xuống \(AC\) và \(BC\)).

7. Từ đó, tam giác \(XHF\) là tam giác cân tại \(X\).

**Phần c: Chứng minh rằng \(\angle CXE = \frac{1}{2} \angle ABX\)**

1. Xét tam giác \(ABX\):
- Ta có \(BA = BX\) (theo giả thiết).
- Do đó, tam giác \(ABX\) là tam giác cân tại \(B\).

2. Gọi \(\angle ABX = \alpha\).

3. Xét tam giác \(CXE\):
- Ta có \(DE \perp AC\) và \(DE = DX\) (theo giả thiết).
- Do đó, \(DX\) là đường cao từ \(X\) xuống \(AC\), tức là \(XH \perp AC\).

4. Từ đó, ta có:
- \(\angle CXE = \frac{1}{2} \angle ABX\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh xong các phần a, b và c theo yêu cầu của bài toán.