Để giải bài toán này, ta cần xác định số điểm \( n \) trên đường thẳng \( d \) sao cho khi nối điểm \( M \) với các điểm đó, ta có thể tạo ra 45 hình tam giác.

Một hình tam giác được tạo thành bởi 3 điểm không thẳng hàng. Trong trường hợp này, một trong ba điểm luôn là điểm \( M \), và hai điểm còn lại phải nằm trên đường thẳng \( d \).

Do đó, số cách chọn 2 điểm từ \( n \) điểm trên đường thẳng \( d \) là \( \binom{n}{2} \) (tổ hợp chập 2 của \( n \)).

Ta có phương trình:
\[ \binom{n}{2} = 45 \]

Tính tổ hợp chập 2 của \( n \):
\[ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]

Thay vào phương trình:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 45 \]

Nhân cả hai vế với 2:
\[ n(n-1) = 90 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ n^2 - n - 90 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -1 \), và \( c = -90 \):
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{2} \]
\[ n = \frac{1 \pm 19}{2} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ n = \frac{1 + 19}{2} = 10 \]
\[ n = \frac{1 - 19}{2} = -9 \] (loại vì \( n \) phải là số nguyên dương)

Vậy \( n = 10 \).