Để tìm giá trị của \( x \) trong các phương trình đã cho, ta sẽ giải từng phương trình một.

**Phương trình k:**
\[
(4x + 1)^2 = \frac{25}{9}
\]

Bước 1: Lấy căn bậc hai hai vế của phương trình:
\[
4x + 1 = \pm \sqrt{\frac{25}{9}}
\]

Bước 2: Tính căn bậc hai của \(\frac{25}{9}\):
\[
\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}
\]

Bước 3: Giải hai phương trình:
\[
4x + 1 = \frac{5}{3} \quad \text{hoặc} \quad 4x + 1 = -\frac{5}{3}
\]

Bước 4: Giải từng phương trình con:
1. \[
4x + 1 = \frac{5}{3}
\]
\[
4x = \frac{5}{3} - 1
\]
\[
4x = \frac{5}{3} - \frac{3}{3}
\]
\[
4x = \frac{2}{3}
\]
\[
x = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}
\]
\[
x = \frac{1}{6}
\]

2. \[
4x + 1 = -\frac{5}{3}
\]
\[
4x = -\frac{5}{3} - 1
\]
\[
4x = -\frac{5}{3} - \frac{3}{3}
\]
\[
4x = -\frac{8}{3}
\]
\[
x = -\frac{8}{3} \times \frac{1}{4}
\]
\[
x = -\frac{2}{3}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình k là:
\[
x = \frac{1}{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{2}{3}
\]

**Phương trình m:**
\[
\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{16}{625}
\]

Bước 1: Viết lại \(\frac{16}{625}\) dưới dạng lũy thừa của \(\frac{2}{5}\):
\[
\frac{16}{625} = \left(\frac{2}{5}\right)^4
\]

Bước 2: So sánh hai vế của phương trình:
\[
\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^4
\]

Bước 3: Vì cơ số giống nhau, ta có:
\[
x = 4
\]

Vậy, nghiệm của phương trình m là:
\[
x = 4
\]